Question

8．如图甲所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α，导轨电阻不计．匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨电接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R，另有一条纸带固定金属棒ab上，纸带另一端通过打点计时器（图中未画出），且能正常工作．在两金属导轨的上端连接右端电路，灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，电阻箱电阻调到使R₂=12R，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，同时接通打点计时器的电源，打出一条清晰的纸带，已知相邻点迹的时间间隔为T，如图乙所示，试求：

（1）求磁感应强度为B有多大？
（2）当金属棒下滑距离为S₀时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑2S₀的过程中，整个电路产生的电热．

Answer 1

分析 （1）电键S打开，ab棒做匀加速直线运动，由速度图象求出加速度，由牛顿第二定律求解斜面的倾角α．开关闭合后，导体棒最终做匀速直线运动，由F_安=BIL，
I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{总}}$ 得到安培力表达式，由重力的分力mgsinα=F_安，求出磁感应强度B．
（2）金属棒由静止开始下滑100m的过程中，重力势能减小mgSsinα，转化为金属棒的动能和整个电路产生的电热，由能量守恒求解电热．

解答 解：（1）根据图乙纸带上打出的点迹可看出，金属棒最终做匀速运动，且速度最大，
最大值为v_m=$\frac{2s}{T}$，
当达到最大速度时，则有mgsinα=F_安
因F_安=ILB
$I=\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{总}}$
其中R_总=6R
所以mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{总}}$
解得B=$\sqrt{\frac{3RTmgsinα}{{L}^{2}S}}$
（2）由能量守恒知，放出的电热Q=mg•2s₀sinα-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
代入上面的v_m值，可得 Q=$2mg{s}_{0}sinα-\frac{2m{s}^{2}}{{T}^{2}}$
答：（1）磁感应强度为B为$\sqrt{\frac{3RTmgsinα}{{L}^{2}S}}$；
（2）当金属棒下滑距离为S₀时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑2S₀的过程中，整个电路产生的电热$2mg{s}_{0}sinα-\frac{2m{s}^{2}}{{T}^{2}}$

点评 本题是电磁感应中的力学问题，由速度图象求得加速度，推导安培力与速度的表达式是关键步骤，难点是运用数学知识分析R₂消耗的功率何时最大．