Question

5．如图所示，水平地面上方MN边界右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直方向的均强磁场，磁感应强度B=1.0T，在边界MN离地面高h=3m处的A点，质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电的小球（可视为质点）以速度v₀水平进入右侧的匀强磁场和匀强电场的区域，小球进入右侧区域恰能做匀强圆周运动，g取10m/s²．
（1）求电场强度的大小和方向；
（2）若0＜v₀≤2m/s，求小球在电磁场区域中运动的最短时间t₁；
（3）若0＜v₀≤2m/s，求小球落在水平地面上的范围．

Answer 1

分析 （1）带电小球受三个力作用下恰好做匀速圆周运动，则两个恒力电场力和重力平衡抵消．从而求出电场强度大小和方向．
（2）显然速度越大，半径越大，偏转角度越小，时间越短．即以v₀=2m/s的速度进入磁场时运动时间最短．由几何关系求出偏转角度从而求出最短时间．
（3）落在最右边的点显然是第（2）问中时间最短的C点，至于落在左边的D点，则是以某一速度做匀速圆周运动转半周后离开电、磁场做类平抛运动．写出平抛运动的水平位移表达式，由表达式就能求出当速度取何值时，水平位移有最大值．

解答 解：（1）小球做匀速圆周运动，电场力等于重力，qE=mg，解得E=10N/C，方向竖直向上．
（2）小球以2m/s的速度在磁场中做匀速圆周运动时间最短，由$qB{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，从而求出半径
  $r=\frac{mv}{qB}=2m$，画出其运动轨迹如图大圆弧所示，由几何关系求出∠AOC=120°，所以时间t₁=$\frac{1}{3}T=\frac{2π}{3}s$
（3）小于以2m/s的速度做匀速圆周运动打在C点，该点离N点最远，由几何关系得NC=rsin60°=$\sqrt{3}m$
  设小球以半径R转半周后离开磁场再做类平抛运动，由平抛运动规律：$h-2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
   x=v_ot，而R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
  联立以上几式可得当R=1m时，x有最大值，解得最大值为$\frac{\sqrt{5}}{5}m$
  所以小球落在N点右侧$\sqrt{3}$m和N点左侧$\frac{\sqrt{5}}{5}m$的范围内．
答：（1）电场强度的大小为10N/C，方向为竖直向上．
（2）若0＜v₀≤2m/s，小球在电磁场区域中运动的最短时间t₁为$\frac{2π}{3}s$．
（3）若0＜v₀≤2m/s，小球落在水平地面上是N点右侧$\sqrt{3}$m和N点左侧$\frac{\sqrt{5}}{5}m$的范围内．

点评 本题的靓点在于小球进入磁场的速度有一个范围，当取不同的速度时，做匀速圆周运动的半径不同，最短时间对应于速度最大的情况，至于落在地面上的范围，