Question

如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°，以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，则（sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

；sin53°=

4

5

，cos53°=

3

5

）（　　）

A、A、B两球所受支持力的大小之比为4：3

B、A、B两球运动的周期之比为4：3

C、A、B两球的动能之比为16：9

D、A、B两球的机械能之比为112：51

Answer 1

分析：小球受重力和支持力，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则求出支持力之比，根据牛顿第二定律求出线速度和周期之比．

解答：解：A、根据平行四边形定则得，N=

mg

cosθ

，则

NA

NB

=

cos37°

cos53°

=

4

3

．故A正确．
B、根据mgtanθ=m

v2

r

=mr(

2π

T

)2，r=Rsinθ，解得v=

gRsinθtanθ

，T=2π

Rcosθ g

．则

vA

vB

=

64 27

，

TA

TB

=

3

2

．则动能之比为64：27．故B、C错误．
D、根据mgtanθ=m

v2

r

得，动能EK=

1

2

mv2=

1

2

mgRsinθtanθ，重力势能E_P=mgR（1-cosθ），则机械能E=mgR(1+

1

2

sinθtanθ-cosθ)，则

EA

EB

=

112

51

．故D正确．
故选AD．

点评：解决本题的关键搞清向心力的来源，运用牛顿第二定律得出线速度、周期的关系．知道机械能等于动能和势能的总和．