Question

电动机带动滚轮匀速转动，在滚轮的作用下，将金属杆从最底端A送往倾角θ=30°的足够长斜面上部．滚轮中心B与斜面底部A的距离为L=6.5m，当金属杆的下端运动到B处时，滚轮提起，与杆脱离接触．杆由于自身重力作用最终会返回斜面底部，与挡板相撞后，立即静止不动．此时滚轮再次压紧杆，又将金属杆从最底端送往斜面上部，如此周而复始．已知滚轮边缘线速度恒为v=4m/s，滚轮对杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与杆间的动摩擦因数为μ=0.35，杆的质量为m=1×10³Kg，不计杆与斜面间的摩擦，取g=10m/s²．
求：（1）在滚轮的作用下，杆加速上升的加速度；
（2）杆加速上升至与滚轮速度相同时前进的距离；
（3）每个周期中电动机对金属杆所做的功；
（4）杆往复运动的周期．

Answer 1

分析：对杆进行受力分析，杆在重力、支持力、滚轮压力和摩擦力作用下产生加速度，求出物体所受合力可以得加速度a；由加速度和杆运动的末速度与轮边缘相同可求出杆运动的时间t，轮分两个过程对杆做功，在两个过程中根据动能定理可求出轮对杆所做的功W；把杆的运动分成三段，一是在滑动摩擦力作用下的匀加速运动，二是在静摩擦力作用下的匀速运动，三是重力沿斜面向下分力作用下的匀减速直线运动，分三段运动求杆运动的时间即可．

解答：解：（1）对杆进行受力分析

杆受重力G、斜面对杆的弹力F₁，滚轮对杆的压力F₂和滚轮对杆沿斜面向上的摩擦力f，四个力作用．建立直角坐标系，有：
F_合x=f-Gsinθ=ma          ①
F_合y=F₁-F₂-mgcosθ=0   
∵轮对杆的压力F2=2×104N
∴轮对杆的摩擦力f=μF_N=μF₂，代入①式得杆产生的加速度：
a=

f-Gsinθ

m

=

0.35×2×104-1×103×10×sin30°

1×103

m/s2=2m/s²
（2）由题意知，杆做初速度为0，加速度a=2m/s²的匀加速运动，末速度与滚轮边缘线速度大小相同即v=4m/s．
根据匀加速直线运动速度位移关系可得：
v²=2ax
即位移：x=

v2

2a

=

42

2×2

m=4m
（3）当杆的速度等于滚轮边缘的线速度的大小时，杆与滚轮间的摩擦力由滑动摩擦力变为静摩擦力，大小由
f=μF₂变为f′=mgsinθ
根据题意知，杆的下端到B的距离L=6.5m，杆加速运动的位移x=4m，则杆在L-x的距离中以4m/s做匀速直线运动
令滚轮在加速过程中对杆做功为W₁在匀加速过程中使用动能定理有：
W1+WG1=

1

2

mv2-0
即：W1=

1

2

mv2-WG1=

1

2

×1×103×42-(-1×103×10×4×sn30°)J=2.8×10⁴J
令滚轮向上匀速运动过程中滚轮对杆做的功为W₂，此过程中使用动能定理有：
W2+WG2=

1

2

mv2-

1

2

mv2=0
所以滚轮对杆做的功W₂=-W_G2=-mg（L-x）cos（90°+30°）=1×103×10×(6.5-4)×

1

2

J=1.25×10⁴J
所以在一个上升过程中，滚轮对杆做的总功W=W₁+W₂=4.05×10⁴J
即一个周期中电动动机对金属杆的做的功W=4.05×10⁴J
（4）根据题意知，杆在一个同期中的运动分为三个过程：
第一个过程杆向上做匀加速直线运动时间t1=

v

a

=

4

2

s=2s
第二个过程杆向上做匀速直线运动，时间t2=

L-x

v

=

6.5-4

4

s=0.625s
第三个过程杆做匀变速直线运动，以沿斜面向上为正方向，则已知初速度为v=4m/s，重力沿斜面向下的分力使杆产生加速度a′=-gsinθ=-5m/s²负号表示方向沿斜面向下，杆回到底端的位移为x=-6.5m，根据匀变速直线运动位移时间关系x=v0t+

1

2

at2，代入v0=v=4m/s，a=-5m/s2，x=-6.5m可解得该段过程所用时间为：
t₃=2.6s．
所以整个周期的时间T=t₁+t₂+t₃=（2+0.625+2.6）s=5.225s
答：（1）在滚轮的作用下，杆加速上升的加速度a=2m/s²；
（2）杆加速上升至与滚轮速度相同时前进的距离x=4m；
（3）每个周期中电动机对金属杆所做的功W=4.05×10⁴J；
（4）杆往复运动的周期T=5.225s．

点评：正确对杆进行受力分析，根据受力情况确定杆的运动情况，分析杆在运动过程中各力的做功情况，根据动能定理求解即可．注意对运动性质的确定，能正确判断物体的运动性质，并能写出运动规律．