Question

1．如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切．质量为m的小球经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球能通过最高点C后落回到水平面上的A点，且过C时对轨道压力为重力的一半（不计空气阻力，重力加速度为g）求：
（1）小球过C点的速度；
（2）AB两点间的距离；
（3）小球落到A点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第三定律求得支持力，然后由牛顿第二定律求得速度；
（2）根据平抛运动位移公式求解；
（3）根据平抛运动机械能守恒求解．

解答 解：（1）小球过C时对轨道压力为重力的一半，那么小球受到轨道的支持力${F}_{N}=\frac{1}{2}mg$，方向竖直向下；
对小球在C点应用牛顿第二定律可得：$mg+{F}_{N}=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得小球过C点的速度为：${v}_{C}=\sqrt{\frac{3}{2}gR}$；
（2）小球从C到A做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
AB两点间的距离为：${s}_{AB}={v}_{C}t=\sqrt{\frac{3}{2}gR}•\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{6}R$；
（3）小球从C到A做平抛运动，只有重力做功，故机械能守恒，则有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{11}{4}mgR$；
那么，小球落到A点时的速度大小为：${v}_{A}=\sqrt{\frac{11}{2}gR}$；
答：（1）小球过C点的速度为$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$；
（2）AB两点间的距离为$\sqrt{6}R$；
（3）小球落到A点时的速度大小为$\sqrt{\frac{11}{2}gR}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．