Question

某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示．可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛．B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点．已知赛车质量m=0.5kg，通电后以额定功率P=2w工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为F_f=0.4N，随后在运动中受到的阻力均可不计，L=10.00m，R=0.32m，（g取10m/s²）．求：
（1）要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的B点对轨道的压力至少多大？
（2）要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间t？
（3）若电动机工作时间为t₀=5s，当R为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是多少？

Answer 1

分析：（1）物体恰好通过最高点，意味着在最高点是轨道对滑块的压力为0，即重力恰好提供向心力，这样我们可以求出v_C，在从B到C的过程中质点仅受重力和轨道的支持力，而轨道的支持力不做功，共可以根据动能定理求出物体在B的速度，在B点根据支持力和重力的合力提供向心力得出物体在B点所受的支持力；
（2）物体从A向B运动过程中所拉力和摩擦力，由动能定理结合额定功率、阻力及位移可求出电动机至少工作时间．
（3）从A到C运用动能定理，从C落地运用平抛运动规律，从而由数学知识来求出赛车既能完成比赛且飞出的最大半径与最远距离．

解答：解：（1）当赛车恰好过C点时在B点对轨道压力最小，
赛车在C点对有：mg=

m v 2 C

R

  
解得vC=

gR

…①
对赛车从B到C由机械能守恒得：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg?2R…②
赛车在B处；FN-mg=m

v 2 B

R

…③
由牛顿第三定律； 压力 F=F_N 
联立以上得：vB=

5gR

=4m/s  
 F=6mg=30N  
（2）对赛车从A到B由动能定理得：
 Pt-FfL=

1

2

m

v

2 B

-0          
 解得：t=4s    
（3）对赛车从A到C由动能定理得：Pt0-FfL-mg?2R=

1

2

m

v

2 0

    
赛车飞出C后有：竖直方向2R=

1

2

gt2       水平方向x=v₀t    
解得：x=

-16(R2- 3 5 R)

所以   当R=0.3m时x最大，x_max=1.2m  
答：（1）要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的B点对轨道的压力至少为30N；
（2）要使赛车完成比赛，电动机至少工作时间4s；
（3）若电动机工作时间为t₀=5s，当R为0.3m时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是1.2m．

点评：本题是力电综合问题，关键要将物体的运动分为三个过程，分析清楚各个过程的运动特点和受力特点，然后根据动能定理、平抛运动公式、向心力公式列式求解！物体恰好通过C点是本题的突破口，这一点要注意把握．