Question

16．我国的“玉兔号”月球车于2013年12月14日晚成功降落在月球虹湾区，开始探测科考．机器人“玉兔号”在月球表面做了一个竖直上抛试验，测得物体从月球表面以初速度v₀竖直向上抛出上升的最大高度为h，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G．则下列说法中正确的是（　　）

• A． 月球的平均密度为$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8πGhR}$
• B． 月球的第一宇宙速度为v₀$\sqrt{\frac{2h}{R}}$
• C． 月球同步卫星离月球表面高度为$\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}R{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R
• D． 月球表面重力加速度为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}$

Answer 1

分析 根据竖直上抛运动，求出星球表面的重力加速度，根据万有引力提供向心力求在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动卫星的周期和该星球的第一宇宙速度，根据$ρ=\frac{M}{V}$求解星球质量．

解答 解：A、月球表面重力与万有引力相等$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$可以求出星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，则月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8πGhR}$，故A正确
B、在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度即为第一宇宙速度，则$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}={v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$，故B错误；
C、月球同步卫星的周期与月球自转周期相同，则$G\frac{Mm}{（h+R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，而$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得：h=$\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}m{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$，故C错误；
D、在月球表面以初速度v₀竖直上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为h．由${{v}_{0}}^{2}=2gh$，可得月球表面重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，故D错误；
故选：A

点评 解决本题得关键掌握万有引力提供向心力．重力加速度g是联系星球表面的物体运动和天体运动的桥梁，注意黄金代换式$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$的应用，难度适中．