Question

5．如图所示，在xOy平面内，直线PQ和y轴之间存在沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限和第一象限的部分区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B，有一质量为m、带电量为+q的粒子从电场左边界与x轴的交点A沿x轴正方向射入电场区域，A点与坐标原点O的距离为x₀，质点到达y轴上C点时，速度方向与y轴负方向之间的夹角为θ=30°．质点由C点进入磁场后，从磁场边界OM上的N点（图中未标出）离开磁场之后，又从y轴上的D点垂直于y轴进入电场，最后恰好回到A点．不计粒子的重力，求：
（1）C点到坐标原点O的距离y₁；
（2）粒子在磁场中运动的时间t₂；
（3）匀强电场的场强E．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在电场中做类平抛运动，得到位移和速度公式，然后由粒子离开电场时的速度方向求解；
（2）根据粒子进入磁场和离开磁场时的速度方向得到中心角，再由圆周运动的周期公式求解运动时间；
（3）根据从D到A也为类平抛运动求得OD的距离，进而得到粒子在磁场中做圆周运动的半径；再由类平抛运动的坐标公式联立求解加速度，最后得到场强．

解答 解：（1）粒子从A到C过程只受电场力作用，做类平抛运动，有：x₀=v₀•t₁，${y_1}=\frac{1}{2}at_1^2$，$tanθ=\frac{v_0}{v_y}=\frac{v_0}{{a{t_1}}}$；
所以，${y_1}=\frac{x_0}{2tanθ}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_0}$；
（2）从y轴上的D点垂直于y轴进入电场，故粒子从N点离开磁场时，速度方向水平向左，故在磁场中做匀速圆周运动由C到N所转过的圆心角为：$α=180°+60°=240°=\frac{4}{3}π$；
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$；
所以，粒子在磁场中运动的时间：${t_2}=\frac{α}{2π}T=\frac{4πm}{3qB}$；
（3）粒子从C点进入磁场时的速度：${v_c}=\frac{v_0}{sin30°}=2{v_0}$；
粒子从D到A也做类平抛运动，设OD之间的距离为y₂，则：x₀=v_c•t₃=2v₀•t₃，${y_2}=\frac{1}{2}at_3^2$；
与（1）问相比较，${t_3}=\frac{1}{2}{t_1}$，${y_2}=\frac{1}{4}{y_1}$，故OD之间的距离为：${y_2}=\frac{1}{4}{y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{x_0}$；
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有：OC+OD=R+Rsinθ，所以，$R=\frac{{5\sqrt{3}}}{12}{x_0}$；
由牛顿第二定律有：$q{v_c}B=m\frac{v_c^2}{R}$；所以，${v_c}=\frac{qBR}{m}=\frac{{5\sqrt{3}qB{x_0}}}{12m}$；
粒子的初速度：${v_0}=\frac{1}{2}{v_c}=\frac{{5\sqrt{3}qB{x_0}}}{24m}$；
由平抛运动可得：${y_1}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t_1^2=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{（\frac{x_0}{v_0}）^2}$；所以，$E=\frac{{2m{y_1}v_0^2}}{qx_0^2}=\frac{{25\sqrt{3}q{x_0}{B^2}}}{192m}$；
答：（1）C点到坐标原点O的距离y₁为$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$；
（2）粒子在磁场中运动的时间t₂为$\frac{4πm}{3qB}$；
（3）匀强电场的场强E为$\frac{{25\sqrt{3}q{x_0}{B^2}}}{192m}$．

点评 带电粒子在磁场中的运动问题，一般先对粒子进行受力分析，然后由合外力做向心力求得运动半径的表达式，然后由几何关系求得半径，再联立求解．