Question

13．如图所示，一小船停于河中，河岸高出水面h，船上的人以已匀速率v₀收绳，写出小船运动的微分方程，并分析船向岸边靠拢的加速度α随角度θ的变化规律．

Answer 1

分析 根据几何关系得出船到河岸距离与高度和绳长的关系，对x进行求导，得出小船运动的微分方程．对船速度进行求导，得出加速度随角度θ的变化规律．

解答 解：设船到岸的水平距离为x，根据几何关系有：x²+h²=l²，
船上的人以已匀速率v₀收绳，有$\frac{dl}{dt}=-{v}_{0}$，
可得$2x\frac{dx}{dt}=-2l{v}_{0}$，
小船运动的微分方程为：$x\frac{dx}{dt}+（\frac{dx}{dt}）^{2}-{{v}_{0}}^{2}=0$．
船向岸边靠拢的加速度α=$\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}（\frac{{v}_{0}}{cosθ}）=\frac{{v}_{0}sinθ}{co{s}^{2}θ}θ$．
${v}_{0}=-\frac{dl}{dt}=-\frac{d}{dt}（\frac{h}{sinθ}）=\frac{hcosθ}{si{n}^{2}θ}θ$．
将上面式子联立可得a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}ta{n}^{3}θ$．
答：小船运动的微分方程为$x\frac{dx}{dt}+（\frac{dx}{dt}）^{2}-{{v}_{0}}^{2}=0$．船向岸边靠拢的加速度α随角度θ的变化规律为a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}ta{n}^{3}θ$．

点评 解决本题的关键知道位移对时间的导数表示速度，速度对时间的导数表示加速度，求解加速度时注意对船的速度进行求导，不是对沿绳子方向的速度进行求导．