Question

6．如图1所示，竖直直线MN左方有水平向右的匀强电场，现将一重力不计，比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg的正电荷置于电场中O点由静止释放，经过$\frac{π}{15}$×10^-5s后，电荷以v₀=1.5×10⁴m/s的速度通过MN进入其右方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图2所示规律周期性变化（图中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻，忽略磁场变化带来的影响）．求：

（1）匀强电场的电场强度E；
（2）图中t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s时刻电荷与O点的竖直距离d；
（3）如图在O点下方d=39.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需要的时间．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）由题设条件和牛顿第二定律有运动学公式，已知末速度，从而能求出在加速电场的加速度，也就求出了加速电场的电场强度大小．
（2）由运动学公式不难求出带电粒子在交变磁场中做匀速圆周运动的周期，而粒子返回电场的时间不变，这样按照粒子分段运动算出粒子各自在每一段的时间，从而确定粒子在该时刻粒子的位置，也就求出了电荷与O点的竖直距离d．
（3）由第（2）的结论，在一个周期内粒子沿向下的方向偏转s，由运动的周期性，确定粒子在向下偏转的次数和剩余的距离和时间，确定粒子的位置，由以上周期和运动学规律就能求出总时间．

解答 解：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的时间为t₁，有：
v₀=at₁　Eq=ma
解得E=$\frac{mv0}{qt1}$=7.2×10³ N/C
（2）当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径
r=$\frac{m{v}_{0}}{{B}_{1}q}$=5 cm
周期T₁=$\frac{2πm}{{B}_{1}q}$=$\frac{2π}{3}$×10^-5 s．
当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径
r₂=$\frac{m{v}_{0}}{{B}_{2}q}$=3 cm
周期T₂=$\frac{2πm}{{B}_{2}q}$=$\frac{2π}{5}$×10^-5 s
故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示，
t=$\frac{4π}{5}$×10^-5 s时刻电荷与O点的竖直距离：
d=2（r₁-r₂）=4 cm．
（3）电荷从第一次通过MN开始，其运动的周期T=$\frac{4}{5}$π×10^-5 s，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为8个，此时电荷沿MN运动的距离
s=8△d=32 cm
则最后7.5 cm的距离如图所示，有：
r₁+r₁cosα=7.5 cm
解得：cosα=0.5，则α=60°
故电荷运动的总时间
t_总=t₁+8T+$\frac{1}{3}$T₁=2.1×10^-4 s．
答：（1）匀强电场的电场强度E为7.2×10³ N/C．
（2）图中t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s时刻电荷与O点的竖直距离d为4 cm．
（3）如图在O点下方d=39.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，电荷从O点出发运动到挡板所需要的时间是2.1×10^-4 s．

点评 本题有靓点值得回味：①粒子在电场中加速到某一速度，旋转半周后返回电场的速度不变，所以速度减为零的时间与加速时间相同--即在电场中运动具有周期性．②由时间确定位置，第二问只有先确定了位置才能求出粒子向下偏移的距离．③由位置确定时间，第三问在一个周期性运动的循环内，粒子向下偏移的距离，由O点到挡板的距离求出周期性运动的次数，由剩余的距离确定粒子打在挡板上的位置，从而不难求出总的运动时间．