Question

8．如图所示，在坐标系xOy的第1、4象限有沿x轴正方向的匀强电场，在第2、3象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第2象限中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的带电粒子从y轴上P点沿与y轴正方向45°角的初速度进入第3象限，初速度的大小为v，粒子在第3象限内做匀速直线运动，进入第2象限后粒子做匀速圆周运动，并以与y轴负方向45°角进入第1象限，在第1、4象限里运动后恰好能到达P点，第1、4象限内的电场强度与第2、3象限内的电场强度大小相同，求：
（1）P点的坐标及磁感应强度的大小；
（2）粒子从P点出发再回到P点所用的时间；
（3）若粒子在磁场中运动到某时刻时撤去磁场，如果粒子能连续两次通过y轴上的某一点，求粒子从P点出发到第二次通过y轴所用时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限内做匀速直线运动，进入第2象限后粒子做匀速圆周运动，可知粒子受到的电场力与重力大小相等，方向相反，由此得出电场力的大小；根据粒子做匀速圆周运动的对称性画出粒子的运动轨迹，确定粒子进入第一象限的速度的方向，然后将运动沿水平方向与竖直方向分解，即可求出竖直方向粒子的位移，然后结合几何关系求出运动的时间、P的坐标、粒子的半径以及磁感应强度；
（2）粒子粒子在第3象限内做匀速直线运动，进入第2象限后粒子做匀速圆周运动，分别求出运动的时间，三段时间的和即为所求；
（3）若粒子在磁场中运动到某时刻时撤去磁场，如果粒子能连续两次通过y轴上的某一点，则撤去磁场时，粒子运动的方向与电场力、重力合力的方向在同一条直线上，分别求出运动的时间，四段时间的和即为所求．

解答 解：（1）粒子在第3象限内做匀速直线运动，可知粒子受到的电场力与重力大小相等，方向相反，由此得出电场力的大小：qE=mg…①；
根据粒子做匀速圆周运动的对称性画出粒子的运动轨迹如图1，
由图可知粒子在第二象限中的轨迹是半圆，进入第一象限的速度的方向与y轴反方向之间的夹角是45°，
然后将运动沿水平方向与竖直方向分解，水平方向：
${a}_{x}=\frac{qE}{m}=\frac{mg}{m}=g$
由于水平发展做匀变速直线运动，到达P时，水平速度的大小与原速度相等，方向相反，所以：
${a}_{x}t=-{v}_{x}-{v}_{x}=-{2v}_{x}=2vsin45°=\sqrt{2}v$
所以：${t}_{1}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$…②
在竖直方向：$y={v}_{y}t+\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}v×\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{1}{2}g×（\frac{\sqrt{2}v}{g}）^{2}$=$\frac{2{v}^{2}}{g}$
由图可知，$\overline{OP}=\frac{1}{2}y=\frac{{v}^{2}}{g}$
P的坐标为：（0，-$\frac{{v}^{2}}{g}$）
粒子的半径：$r=\frac{1}{2}•\frac{\overline{OM}}{cos45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\overline{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{2g}$…③
粒子在第二象限中，受到的电场力与重力大小相等，方向相反，洛伦兹力提供向心力，得：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$…④
所以磁感应强度：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}mg}{qv}$…⑤
（2）粒子粒子在第3象限内做匀速直线运动，运动的时间：${t}_{2}=\frac{\overline{MP}}{v}=\frac{\sqrt{2}\overline{OP}}{v}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$…⑥
粒子进入第2象限后粒子做匀速圆周运动，运动的时间是半个周期，所以：
${t}_{3}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}×\frac{2πr}{v}=\frac{πr}{v}$=$\frac{\sqrt{2}πv}{2g}$…⑦
三段时间的和即为粒子从P点出发再回到P点所用的时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{g}$=$\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{2g}$=$\frac{（4\sqrt{2}+π\sqrt{2}）v}{2g}$．
（3）若粒子在磁场中运动到某时刻时撤去磁场，如果粒子能连续两次通过y轴上的某一点，则撤去磁场时，粒子运动的方向与电场力、重力合力的方向在同一条直线上，此时运动的轨迹如图2，
M到Q的时间是圆周的$\frac{1}{4}$
所以：${t}_{4}=\frac{1}{4}T=\frac{\sqrt{2}πv}{4g}$
由图可知：$QD=2r=\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{g}$，
运动的时间：${t}_{5}=\frac{QD}{v}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$
由图可知，粒子射入第一象限时，速度的方向与y轴的夹角是45°，所以粒子在第一象限中运动的时间：
${t}_{6}={t}_{1}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$
粒子粒子从P点出发到第二次通过y轴所用时间：
t′=t₂+t₄+t₅+t₆=$\frac{v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{4g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}$=$（4+8\sqrt{2}+\sqrt{2}π）•\frac{v}{g}$．
答：（1）P点的坐标是：（0，-$\frac{{v}^{2}}{g}$），磁感应强度的大小是$\frac{\sqrt{2}mg}{qv}$；
（2）粒子从P点出发再回到P点所用的时间是$\frac{（4\sqrt{2}+π\sqrt{2}）v}{2g}$；
（3）若粒子在磁场中运动到某时刻时撤去磁场，如果粒子能连续两次通过y轴上的某一点，求粒子从P点出发到第二次通过y轴所用时间是$（4+8\sqrt{2}+\sqrt{2}π）•\frac{v}{g}$．

点评 带电粒子在电场、磁场中的运动要注意分析过程，并结合各过程中涉及到的运动规律采用合理的物理规律求解．