Question

12．气象卫星的运行轨道距地面高度为h，在通过地球两极上空的圆轨道上运行．求：
（1）该卫星的运行周期．
（2）在日照条件下，卫星在通过赤道上空时拍照，为使卫星能够在一天的时间内将地面上赤道各处都拍摄下来，该卫星上的摄像机每次至少应拍摄赤道上圆周的弧长是多少？已知地球半径为R，地球自转周期为T，地面上的重力加速度为g．

Answer 1

分析 （1）知道卫星的高度，就可以确定卫星的轨道半径的大小，根据万有引力作为向心力计算周期的大小；
（2）根据地球的周期，计算地球自转的角度，继而得出卫星上的摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为θ角所对应的圆周弧长．

解答 解：（1）设侦察卫星的周期为T₁，地球对卫星的万有引力为卫星做圆周运动的向心力，卫星的轨道半径为：r=R+h，
根据牛顿第二定律，得：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m（R+h）\frac{{4{π^2}}}{{{T_1}^2}}$．
在地球表面的物体重力近似等于地球的万有引力，即：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$
解得侦察卫星的周期为：${T_1}=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$，
（2）已知地球自转周期为T，则卫星绕行一周，地球自转的角度为：$θ=2π\frac{T_1}{T}$．
摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为θ角所对应的圆周弧长应为：$s=θR=2π\frac{T_1}{T}R=\frac{2πR}{T}•\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$=$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$
答：（1）该卫星的运行周期为$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g}}$．
（2）卫星上的摄像机每次至少应拍摄赤道上圆周的弧长是$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$．

点评 在地球的质量不知而地球表面的重力加速度已知时，要用黄金代换公式表示地球的质量，这是我们经常使用的方法，要注意掌握．