Question

真空中足够大的两个相互平行的金属板a和b之间的距离为d，两板之间电压Uab按图所示规律变化，其变化周期为T．在t=0时刻，一带电粒子（+q）仅在该电场的作用下，由a板从静止开始向b板运动，并于t=nT（n为自然数）时刻，恰好到达b板．求：
（1）若粒子在t=

T

6

时刻才开始从a板运动，那么经过同样长的时间，它将运动到离a板多远的地方？
（2）若该粒子在t=

T

6

时刻才开始从a板运动，需要经过多长时间才能达到b板．

Answer 1

分析：带电粒子在两板之间电压Uab按图所示规律变化的电场中受到电场力作用，从而做匀变速运动．当a板从静止开始向b板运动，并于t=nT（n为自然数）时刻，恰好到达b板．则当t=

T

6

时刻才开始从a板运动，那么经过同样长的时间，前一段时间是先匀加速后匀减速，后一段时间回头匀加速，所以两段时间内的位移之差即为粒子离开a板的距离．由此可知最后一个周期尚未结束就已碰到b板，则可由运动学公式算出碰b板后的时间，从而再减去这个时间．

解答：（1）设带电粒子在匀强电场中的加速度为a，前半个周期为加速运动，后半个周期为减速运动，
所以a、b间距离d=2ns=2n

1

2

a(

T

2

)2①

   若粒子在t=

T

6

时刻开始从a板运动，该粒子向b 板运动的距离x₁=2n

1

2

a(

2

6

T)2．
在电场力作用下返回a 板的距离x₂=2n

1

2

a(

T

6

)2，
该粒子向b板运动的位移：x=x₁-x₂=2n

1

2

a(

2

6

T)2-2n

1

2

a(

T

6

)2②
    所以①÷②得：x=

d

3

（2）最后一个周期尚未结束就已经碰到b板，则该粒子除去最后一个周期运动时间t₁=（3n-1）T，最后一个周期中，粒子加速了

T

3

，当减速的

T

3

未完成就已和b板相碰，计算时仍可按粒子向b板运动了（

1

3

+

1

3

）T的时间，再减去碰b板之后的时间，碰b板之后的时间可由粒子反向回b板的两段距离（即反向加速

T

6

及减速的

T

6

距离）和粒子过b板直到末速度为零时的匀减速的位移相等而求得，即
2×

1

2

a(

T

6

)2=

1

2

    解出t2=

2

6

T
故粒子从a到b板的总时间为t=t₁+t₂
所以t=(3n-1)T+

2

3

T-

2

6

T．

点评：由于粒子不是在电场中一直处于加速或减速，所以导致分析运动较复杂．当然第2个问题也可以假设b板向下移动到最后一个周期末速度为零的位置，这算出整段时间，再去移动距离的时间．