Question

12．两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它们左边有一垂直轨道的固定档板P，右边有一小球C沿轨道以速度v₀射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D．在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变．然后，A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连．过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m．
（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度．
（2）求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）C球与B球粘连成D时由动量守恒定律列出等式，当弹簧压缩至最短时，D与A的速度相等由动量守恒定律解答．
（2）弹簧长度被锁定后由能量守恒列出等式，解除锁定后，当弹簧刚恢复自然长度时，势能全部转变成D的动能由能量守恒和动量守恒定律列出等式求解．

解答 解：（1）设C球与B球粘连成D时，D的速度为v₁，以向左为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=（m+m）v₁ ①
当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，高此速度为v₂，
以向左为正方向，由动量守恒定律得：2mv₁=3mv₂ ②
由①、②两式得A的速度：v₂=$\frac{1}{3}$v₀   ③
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$•2mv₁²=$\frac{1}{2}$•3mv₂²+E_P ④
撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定，当弹簧刚恢复到自然长度时，
势能全部转变成D的动能，设D的速度为v₃，则有：E_P=$\frac{1}{2}$•2mv₃²     ⑤
以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，
弹簧伸至最长，设此时的速度为v₄，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：2mv₃=3mv₄ ⑥
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为：E_P′，
$\frac{1}{2}$•2mv₃²=$\frac{1}{2}$•3mv₄²+E_P′，解得：E_P′=$\frac{1}{36}$mv₀²；
答：（1）弹簧长度刚被锁定后A球的速度为$\frac{1}{3}$v₀．
（2）在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为$\frac{1}{36}$mv₀²．

点评 本题主要考查了动量守恒定律及能量守恒定律的应用，关键要知道当弹簧伸到最长时，其势能最大．