Question

（2008?湛江二模）已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的高度为h，地球的自转周期T，地球表面的重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球赤道表面的物体随地球自转的线速度大小的方法：地球赤道表面的物体随地球作圆周运动，由牛顿运动定律有

GMm

R2

=m

v2

R

又因为地球上的物体的重力约等于万有引力，有mg=

GMm

R2

由以上两式得：v=

gR

（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）由以上已知条件还可以估算出哪些物理量？（请估算两个物理量，并写出估算过程）．

Answer 1

分析：1、地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力．
2、研究同步卫星绕地球做匀速圆周运动，要清楚物理公式中各个物理量的含义，其中向心力公式里的r为轨道半径，即同步卫星到地心的距离r=R+h．
根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体地球的质量．也可以求解同步卫星的运行速度．

解答：解：（1）以上结果是不正确的．因为地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力．
正确的解答如下：
地球赤道表面的物体随地球自传的周期为T，轨道半径为R，所以线速度大小为v=

2πR

T

（2）①可估算地球质量M．设同步卫星的质量为m，轨道半径为r=R+h，周期等于地球自传周期T，由牛顿第二定律有
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
所以M=

4π2(R+h)3

GT2

．
或者：对地面上的物体有mg=G

Mm

R2

      所以地球质量为M=

R2g

G

②可以估算同步卫星运转时的线速度v′的大小，
由①可知，地球同步卫星的周期为T，轨道半径为r=R+h，
所以v′=

2π(R+h)

T

或者：万有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m

v′2

(R+h)

      对地面上的物体有mg=G

Mm

R2

      所以得v′=R

g R+h

答：（1）因为地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力．
正确的解答应为：地球赤道表面的物体随地球自传的周期为T，轨道半径为R，所以线速度大小为v=

2πR

T

．
（2）由以上已知条件还可以估算出地球的质量和同步卫星的线速度．推导过程如上面所述．

点评：在对物理规律和公式理解和应用的同时，要知道公式中各个物理量的准确含义．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．