Question

如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ=

3

4

，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为4kg，B的质量为2kg，初始时物体A到C点的距离为L=1m．现给A、B一初速度v₀=3m/s使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点．已知重力加速度为g=10m/s²，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
（1）物体A沿斜面向下运动时的加速度大小；
（2）物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
（3）弹簧的最大压缩量和弹簧中的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（1）物体A沿斜面向下运动时，B向上运动，两者加速度大小相等，以AB整体为研究对象，根据牛顿第二定律求出物体A沿斜面向下运动时的加速度大小．
（2）由公式v²-

v

2 0

=2aL可求出物体A向下运动刚到C点时的速度大小．
（3）由题，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点，整个过程中，弹簧的弹力和重力对A做功均为零，A向下运动的最大位移大小等于弹簧的最大压缩量，根据动能定理求解弹簧的最大压缩量．弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，对系统根据能量关系求解弹簧中的最大弹性势能．

解答：解：（1）物体A沿斜面向下运动时，B向上做运动，两者加速度大小相等，以AB整体为研究对象，根据牛顿第二定律得
   a=

mAgsinθ-μmAgcosθ-mBg

mA+mB

代入解得  a=-2.5m/s²．
（2）由v²-

v

2 0

=2aL得 v=

v 2 0 -2aL

=2m/s
（3）设弹簧的最大压缩量为x．物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点，整个过程中，弹簧的弹力和重力对A做功均为零．设A的质量为2m，B的质量为m，根据动能定理得
-μ?2mgcosθ?2x=0-

1

2

?3mv2
得 x=0.4m
弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，对系统根据能量关系有
   E_p+mgx=2mgxsinθ
因为mgx=2mgxsin θ
所以E_p=fx=

3

4

mv²-

3

2

μmgL=6J
答：（1）物体A沿斜面向下运动时的加速度大小是2.5m/s²；
（2）物体A向下运动刚到C点时的速度大小是2m/s；
（3）弹簧的最大压缩量是0.4m，弹簧中的最大弹性势能是6J．

点评：本题是连接体问题，抓住两物体的加速度大小相等，运用整体法求出加速度．根据动能定理求出弹簧的最大压缩量．