Question

如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有竖直向下的匀强电场，场强为E=20N/C，第四象限内有一个圆形区域的匀强磁场，方向垂直纸面向外，大小为B=4

2

，未画出来．一个带正电的粒子质量为m=2×10^-5kg，电量为q=5×10^-3C，重力不计，从y中上的a点以v₀=10m/s的速度垂直 y 轴射入电场．Oa长度为 h=0.01m，粒子通过x轴上的b点进入第四象限，粒子经圆形磁场后从c点射出第四象限，出射的速度方向与y轴负方向成75°．（π=3.14）求：
（1）粒子通过b点时的速度大小及方向．
（2）磁场的最小面积是多少．

Answer 1

分析：（1）粒子第一象限内做类平抛运动，沿竖直方向和水平方向分解该运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合即可求解；
（2）粒子飞入磁场做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨迹半径，由几何知识求出粒子在磁场中圆周运动的圆弧对应的弦长，当磁场以该弦长为直径为时，磁场的面积为最小，即可求得圆形磁场区的最小面积．

解答：解：（1）在电场中，粒子做类平抛运动．
y轴方向有：qE=ma，h=

1

2

at2，v_y=at
联立得：v_y=

2qEh m

=

2×5×10-3×20×0.01 2×10-5

=10m/s
过b点的速度大小为：v=

v 2 0 + v 2 y

=10

2

m/s
过b点的速度与x轴的夹角为：tanθ=

vy

v0

=1，即θ=45°
所以通过b点速度方向为与x轴成45°角；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为R，由牛顿定律得：
  qvB=

mv2

R

解得：R=0.01m；
设粒子在磁场中圆周运动的圆弧对应的弦长为2r，由作图可知：r=Rsin60°=5

3

×10^-3m
当磁场以2r为直径为时，磁场的面积是满足题意的最小面积，即最小面积为：
  S=πr²=2.355×10^-4m²
答：
（1）粒子通过b点时的速度大小为10

2

m/s，通过b点速度方向为与x轴成45°角．
（2）磁场的最小面积是2.355×10^-4m²．

点评：粒子在复合场中运动类型，分析粒子的受力是解题的基础，本题的关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识得到磁场面积最小的条件．