Question

某校同学利用如甲图所示的实验装置研究一光滑小球运动时对轨道压力的规律．该装置位于竖直面内，倾斜轨道AB和圆弧轨道BC在B点相切，圆轨道的半径为r．让质量为m的小球，从轨道AB上高H处的A点滑下，用力传感器测出小球经过最高点C 时对轨道的压力．改变小球下滑的初速度v₀，可测出小球经过最高点C时对轨道压力F 的对应值，g取10m/s²．

（1）试写出压力F的大小随小球初速度v₀变化的关系式；
（2）若测得小球质量m=0.2kg，圆弧半径r=-0.4m，压力F的最小值为5N，试确定小球下落的高度H，并在乙图的坐标上定性地画出F-v₀的图象．

Answer 1

分析：（1）对A到C的过程运用机械能守恒定律求出C点的速度，结合牛顿第二定律，抓住重力和压力的合力提供向心力求出压力F和初速度的表达式．
（2）当初速度为0时，对轨道最高点的压力最小，结合第一问的表达式求出小球下落的高度，结合表达式定性作出F-v₀的图象．

解答：解：（1）光滑小球从A点到C点的过程中机械能守恒，则有

1

2

m

v

2 0

+mg(H-2r)=

1

2

m

v

2 c

…①
根据牛顿第二定律，小球经过C点时满足：F+mg=m

v 2 c

r

…②
由①②解得：F=

m

r

v

2 0

+

2mg

r

H-5mg…③
（2）当压力最小时，有v₀=0，所以

2mg

r

H-5mg=5…④
解得H=1.5m   …⑤
函数图象如图所示 …⑥
答：（1）压力F的大小随小球初速度v₀变化的关系式为F=

m

r

v

2 0

+

2mg

r

H-5mg．
（2）小球下落的高度H为1.5m，F-v₀的图象如图所示．

点评：本题考查了牛顿第二定律和机械能守恒的综合，难度中等，该类问题是高考常考的题型，需加强训练．