Question

10．如图所示，圆形区域的匀强磁场垂直xoy平面向外，该圆形区域的圆心为O₁，半径为R，并与x轴相切于原点O．现从离子源发出比荷为k（即电荷量与质量的比值）的正离子，沿直径O₂O₃射入，经磁场偏转后从O点垂直进入x轴下方的匀强电场，该电场的场强为E，方向沿x轴正方向，最后打在位于档板的o₄位置的离子探测器上．不计粒子所受重力．已知O₄点坐标为（2R，-R），且O₁，O₂，O₃，O₄在一条直线上．求：
（1）离子射入磁场时的速度v
（2）圆形区域内磁场的磁感应强度B
（已知tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sinα}{1+cosα}$）

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，运用运动的分解法：沿y轴负方向做匀减速运动，x轴方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出粒子进入电场时速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出其运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，再求出磁感应强度．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴负方向做匀减速运动，位移为R=vt
x轴方向：2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
$a=\frac{qE}{m}=kE$
解得：v=$\frac{1}{2}\sqrt{kER}$；
（2）由题意，已知圆的半径是R，O₄点坐标为（2R，-R），且O₁，O₂，O₃，O₄在一条直线上，所以O₂O₃与y轴之间的夹角是45°，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
粒子偏转的角度是45°，其轨迹圆弧对应的圆心角是45°，所以：$\frac{R}{r}=tan\frac{45°}{2}$=$\frac{sin45°}{1+cos45°}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
所以：$r=（1+\sqrt{2}）R$
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，所以：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{kER}}{k（1+\sqrt{2}）R}$=$\frac{1}{2+2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{E}{kR}}$．
答：（1）离子射入磁场时的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{kER}$；
（2）圆形区域内磁场的磁感应强度是$\frac{1}{2+2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{E}{kR}}$．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．