如图所示.A.B两板间存在电压．M.N两平行金属板长2d.两板间距为2d.两板间的电压为U．PQ的右侧有垂直纸面的匀强磁场.磁场宽度为($\frac{1}{\sqrt{2}}$+1)d．一束初速度为0.电荷量为q-4q.质量为m-4m的带负电粒子由S先后经过两个电场后.从M.N两平行金属板的中点C进人磁场区域．对此现象.求解下列问题．(1)证明:所有带电粒子� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，A、B两板间存在电压．M、N两平行金属板长2d，两板间距为2d，两板间的电压为U．PQ的右侧有垂直纸面的匀强磁场，磁场宽度为（$\frac{1}{\sqrt{2}}$+1）d．一束初速度为0、电荷量为q～4q、质量为m～4m的带负电粒子由S先后经过两个电场后，从M、N两平行金属板的中点C进人磁场区域．对此现象，求解下列问题．
（1）证明：所有带电粒子都从C点射出．
（2）若粒子从QP边界射出的速度方向与水平方向成45°角，磁场的磁感应强度在什么范围内，才能保证所有粒子都不能从JK边射出？

分析（1）对直线加速过程根据动能定理列式，对类平抛过程根据分位移公式列式，联立求解出侧移量y的表达式进行分析即可；
（2）粒子在磁场中做类似平抛运动，洛伦兹力提供向心力，求解出轨道半径的范围，临界情况是轨迹与JK边相切．

解答解：（1）设AB间加速电压为U，直线加速过程，有：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
类平抛过程，有：
2d=v₀t
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：
a=$\frac{qU}{m（2d）}$
联立解得：
y=$\frac{Ud}{2{U}_{1}}$
即侧向位移与粒子的质量和电荷量均无关，故所有带电粒子都从C点射出；
（2）对粒子的类平抛运动，根据分运动公式，有：
tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
tan45°=2tanα=2（$\frac{y}{2d}$）
${v}_{y}^{2}=2ay$
a=$\frac{qU}{m（2d）}$
联立解得：
${v}_{x}={v}_{y}=\sqrt{\frac{qU}{m}}$
故进入磁场的速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
粒子从QP边界射出的速度方向与水平方向成45°角，洛伦兹力提供向心力，故：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
由于电荷量为q～4q、质量为m～4m，故对不同的粒子，临界半径范围为：$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mU}{2q}}$～$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$…①
画出临界轨迹，如图所示：
结合几何关系，有：
Rsin45°+R=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$+1）d
故R=d…②
联立①②得到临界轨迹对应的磁感应强度范围：
$\frac{1}{d}\sqrt{\frac{mU}{2q}}≤B≤\frac{2}{d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
故磁场的磁感应强度在范围$B≥\frac{2}{d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$内，才能保证所有粒子都不能从JK边射出；
答：（1）证明如上；
（2）磁场的磁感应强度在范围$B≥\frac{2}{d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$内，才能保证所有粒子都不能从JK边射出．

点评本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，分匀加速、类平抛和匀速圆周运动进行分析．

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