Question

6．如图是小孔成像的原理图，太阳光从圆筒正对太阳的一端的中心小孔射入，可在封有磨砂玻璃的圆筒另一端形成太阳的像．已知地球绕太阳公转的周期为T，万有引力常量为G，如果利用毫米刻度尺测量出小孔成像实验中的相关数据（测量结果请自行用规范的字母代替）．请依据上述数据，并结合对实验过程的叙述，估算出太阳的密度，要求写出推导过程和最后的表达式．

Answer 1

分析 地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，由密度公式ρ=$\frac{M}{V}$及球体体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³，联立各式可解得得太阳的密度．

解答 解：其过程如图所示，用不透光圆筒，把有小孔的一端对准太阳，调节圆筒到太阳的距离，在薄纸的另一端可以看到太阳的像．用毫米刻度尺测得太阳像的直径d，圆筒长为L．
设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r．由
成像光路图可知：△ABO∽△CDO，则：$\frac{R}{r}$=$\frac{\frac{d}{2}}{L}$，即R=$\frac{dr}{2L}$．
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为m，
则：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，由密度公式ρ=$\frac{M}{V}$及球体体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³，
联立以上各式可得：ρ=$\frac{24π{L}^{3}}{G{T}^{2}{d}^{3}}$
答：太阳的密度$\frac{24π{L}^{3}}{G{T}^{2}{d}^{3}}$，过程如上所述．

点评 本题的难点是分析如何根据小孔成像原理估测太阳半径R，作图找几何关系是关键．