Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一绝缘形弯杆由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内．PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段是光滑的.现有一质量为m、带电+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的倍.现在M右侧D点由静止释放小环，小环刚好能到达P点.

(1)求DM间距离x₀；

(2)求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时弯杆对小环作用力的大小；

(3)若小环与PQ间动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等),现将小环移至M点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

(1)小环刚好到达P点时速度v_P=0                                       

    由动能定理得qEx₀-2mgR=0                                            ①

    qE=                                                                ②

    由①②得x₀=.                                                      

(2)小环在A点时的速度为v_a,由动能定理

    qE(x₀+R)-mgR=mv_a²-0                                                ③

    弹力与洛伦兹力合力提供向心力N-qv_AB-qE=m                        ④

    由③④得N=+.                                        

(3)若-f=μmg≥qE，即μ≥

    小环第一次到达P点右侧s₁距离处速度为零,由动能定理

    qE(4R-s₁)-2mgR-fs₁=0                                                  ⑤

    f=μmg                                                                   ⑥

    由⑤⑥得s₁=                                                  

    环停在此处不动,所以克服摩擦力所做的功W=fs₁=                  

    若f-μmg

    环经来回往复运动,最后只能在PD之间往复运动,克服摩擦力做功W.

    qE(4R)-mg(2R)-W=0                                                   

    解得W=mgR.