Question

13．‘神舟七号”飞船绕地球运转一周需要时间约90min，“嫦娥二号”卫星在工作轨道绕月球运转一周需要时间约118min（“神舟七号”和“嫦娥二号”的运动都可视为匀速圆周运动）． 已知“嫦娥二号”卫星距月球中心的距离约为“神舟七号”飞船距地球中心距离的$\frac{3}{11}$．根据以上数据可求得（　　）

• A． 月球与地球的质量之比
• B． “嫦娥二号”卫星与“神舟七号”飞船的质量之比
• C． 月球与地球的第一宇宙速度之比
• D． 月球表面与地球表面的重力加速度之比

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，结合题中数据可以计算月球和地球的质量之比．
根据万有引力提供向心力只能计算中心天体的质量，环绕天体的质量无法计算．
由于不知道月球和地球的半径，故无法计算月球与地球的第一宇宙速度之比，也无法计算月球表面与地球表面的重力加速度之比．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
所以$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}$=$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}$×$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{3}^{3}}{1{1}^{3}}$×$\frac{9{0}^{2}}{11{8}^{2}}$，即可以计算出月球与地球的质量之比，故A正确．
B、“嫦娥二号”卫星与“神舟七号”飞船是环绕天体，质量在等式两边约去了，故不计算它们的质量，故B错误．
C、根据第一宇宙速度的公式v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，由于不知道月球和地球的半径，故无法计算月球与地球的第一宇宙速度之比，故C错误．
D、星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，由于不知道月球和地球的半径，故无法计算月球表面与地球表面的重力加速度之比，故D错误．
故选：A．

点评 要知道卫星运动时，万有引力提供向心力，会根据此关系列出方程，并能根据各种表达式进行分析．