Question

8．在地面上有竖直放置的静止物体A和B，A、B之间用不计质量的轻弹簧栓接在一起，弹簧的劲度系数k=100N/m，A、B的质量都为1kg，现用F=20N的竖直向上恒力作用在物体A上，使A竖直上升，重力加速度g=10m/s²，设弹簧始终是在弹性限度内，空气阻力不计．求
（1）从力F开始作用到物体B刚离开地面的过程中拉力F作的功．
（2）物体B刚离开地面时物体A的速度大小．
（3）设物体B刚离开地面时弹簧的总长度L，当B离开地面以后，弹簧第一次出现总长度等于L时，物体A、B的速度各为多大．

Answer 1

分析 （1）设当B刚要离开地面时，弹簧伸长量为X₂，此时物体A的加速度为a，B的加速度为0，由胡克定律和牛顿第二定律列式即可求解；
（2）初始状态，弹力等于小物块的重力，物体B刚离开地面时，弹力等于小物块的重力，故初始和末状态，弹性势能没有发生变化，拉力做功转化为A的重力势能和动能，根据动能定理求出A的速度大小．
（3）B离地后，F正好等于整个系统的重力，整个系统合外力为0，动量守恒，当弹簧长度再一次达到L时，弹性势能不变，相当于动能之间相互转化，根据各关系联立方程求解．

解答 解：（1）设未施加拉力时弹簧的缩短量为x₁，设B刚要离地是弹簧伸长量为x₂
得：kx₁=m_Ag
kx₂=m_Bg
拉力做功：W₁=F（x₁+x₂）=4J
（2）由于弹簧的形变量在初始状态和末状态相等，即弹性势能相等，
物块B的重力势能和动能也没有发生变化，则拉力做功使A的重力势能和动能发生变化．
设末状态A的速度为V，根据动能定理得：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}={W}_{1}-{m}_{A}g（{x}_{1}+{x}_{2}）$
代入数据得：v=2m/s
（3）因物体B缸体开地面时物体A的速度为v，物体B的速度为0，物体B离开地面以后，弹簧第一次出现总长度等于L的时刻，A、B的速度分别为v_A、v_B
因为：F=m_Ag+m_Bg
所以B物体离开地面以后，A和B组成的系统动量守恒，
根据动量守恒定律：m_Av=m_Av_A+m_Bv_B
从B离开地面后到弹簧的总长度再次等于L时，弹簧的状态一样，弹性势能不变，合外力做功为0．
根据能量转化关系：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$
联立以上两式，代入数据得：v_A=0或v_A=2m/s
相应的：v_B=2m/s或v_B=0
由于B离开地面后，弹簧先伸长，到最长时，AB速度相等，然后B继续加速，A减速，故弹簧第一次出现总长度为L的时刻：v_A＜v_B
所以：v_A=0，v_B=2m/s
答：（1）从力F开始作用到物体B刚离开地面的过程中拉力F作的功为4J．
（2）物体B刚离开地面时物体A的速度大小2m/s．
（3）物体A、B的速度各为0，2m/s．

点评 本题主要考查了胡克定律、牛顿第二定律、动能定理的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，能求出物块A的总位移，和变化特征难度较大．