Question

8．如图所示，一直立汽缸由横截面积S_A=20cm²和S_B=10cm²的两部分圆筒连接而成，活塞A与B间用长为2L的细线相连，均可在缸内无摩擦地上、下滑动，A与B间封闭一定量的空气，A和B的上、下均与大气相通，大气压强保持为p₀=1.0×10⁵Pa．
（1）当汽缸内空气温度为600K、压强为1.2×10⁵Pa时，活塞A与B平衡位置如图所示．已知活塞B的质量m_B=1kg，取g=10m/s²，求活塞A的质量m_A．
（2）当汽缸内气体温度由600K缓慢降低时，两活塞保持2L的距离一起向下缓慢移动（两活塞仍可视为处于平衡状态），直到活塞A到达两圆筒的连接处，若此后缸内空气继续降温，直到活塞A、B间的距离开始小于2L为止，分析整个降温过程中汽缸内空气压强的变化情况，求气体的最低温度．

Answer 1

分析 （1）对A和B组成的系统，由力的平衡方程求活塞A的质量
（2）封闭气体先等压变化，根据盖-吕萨克定律求出A刚到达连接处时的温度；之后再降温，当绳上拉力恰好为0时温度最低，对活塞B根据力平衡求出封闭气体的压强，由A和B从静止到B开始上移的继续降温过程中，缸内空气保持体积不变，由查理定律列式求出最低温度

解答 解：（1）对A和B组成的系统，力的平衡方程为：
${p}_{0}^{\;}{S}_{A}^{\;}+{p}_{1}^{\;}{S}_{B}^{\;}+（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）g={p}_{0}^{\;}{S}_{B}^{\;}+{p}_{1}^{\;}{S}_{A}^{\;}$
解得：${m}_{A}^{\;}=\frac{{p}_{1}^{\;}（{S}_{A}^{\;}-{S}_{B}^{\;}）-{p}_{0}^{\;}（{S}_{A}^{\;}-{S}_{B}^{\;}）}{g}=1kg$
（2）A与B保持2L距离一同缓慢移动的降温过程，因A和B仍视为平衡状态，所以压强不变．当A刚到连接处时，缸内空气体积为：
${V}_{2}^{\;}=2L{S}_{B}^{\;}$
此时温度为${T}_{2}^{\;}$，由盖-吕萨克定律有：$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
$\frac{L{S}_{A}^{\;}+L{S}_{B}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{2L{S}_{B}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
解得：${T}_{2}^{\;}=\frac{2{S}_{B}^{\;}}{{S}_{A}^{\;}+{S}_{B}^{\;}}{T}_{1}^{\;}=\frac{2}{3}×600K=400K$
对活塞B，因静止，由力的平衡方程确定其刚开始上移时（线的拉力为0）缸内气体此时的压强为${p}_{3}^{\;}$，有：
${p}_{3}^{\;}{S}_{B}^{\;}+{m}_{B}^{\;}g={p}_{0}^{\;}{S}_{B}^{\;}$
解得：${p}_{3}^{\;}={p}_{0}^{\;}-\frac{{m}_{B}^{\;}g}{{S}_{B}^{\;}}=0.9×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
由A和B从静止到B开始上移的继续降温过程中，缸内空气保持体积不变，由查理定律得：$\frac{{p}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{p}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$
解得：${T}_{3}^{\;}=\frac{{p}_{3}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}}{T}_{2}^{\;}=\frac{0.9×1{0}_{\;}^{5}}{1.2×1{0}_{\;}^{5}}×400K=300K$
答：①活塞A的质量${m}_{A}^{\;}$为1kg
②气体的最低温度300K

点评 本题关键明确封闭气体的初末状态，然后结合气体实验定律列式求解；同时要对活塞和杆整体受力分析并结合平衡条件求解气体的压强