(10分)如图所示,质量为m的小球,由长为l的细线系住,细线的另一端固定在A点,AB是过A的竖直线,E为AB上的一点,且AE=0.5l,过E作水平线EF,在EF上钉铁钉D,若线能承受的最大拉力是9mg,现将小球拉直水平,然后由静止释放,若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动,不计线与钉子碰撞时的能量损失。求钉子位置在水平线上的取值范围。
解析:
这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题.题中涉及两个临界条件:一是线承受的最大拉力不大于9mg;另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于(r是做圆周运动的半径).设在D点绳刚好承受最大拉力,设DE=x1,则:AD=
悬线碰到钉子后,绕钉做圆周运动的半径为:r1=l-AD= l- ①(2分)
当小球落到D点正下方时,绳受到的最大拉力为F,此时小球的速度v,由牛顿第二定律有:
F-mg= ② (1分)
结合F≤9mg可得:≤8mg ③ (1分)
由机械能守恒定律得:mg (+r1)=
mv12
即:v2=2g (+r1) ④ (1分)
由①②③式联立解得:x1≤l ⑤ (2分)
随着x的减小,即钉子左移,绕钉子做圆周运动的半径越来越大。转至最高点的临界速度也越来越大,但根据机械能守恒定律,半径r越大,转至最高点的瞬时速度越小,当这个瞬时速度小于临界速度时,小球就不能到达圆的最高点了。
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点,设EG=x2,如图,则:AG=
r2=l-AG= l- ⑥ (1分)
在最高点:mg≤ ⑦ (1分)
由机械能守恒定律得:mg (r2)=
mv22 ⑧ (1分)
由④⑤⑥联立得:x2≥l ⑨ (2分)
在水平线上EF上钉子的位置范围是:l≤x≤
l (2分)
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A、地面对楔形物块的支持力为(M+m)g | B、地面对楔形物块的摩擦力为零 | C、楔形物块对小物块摩擦力可能为零 | D、小物块一定受到四个力作用 |
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