Question

8．边长为L的正方形闭合金属线框，其质量为m、电阻为R．图中M、N、P为磁场区城的边界，上、下两部分水平匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向如图所示．现让金属线框在图示位置由静止开始下落，金属线框在穿过M和P两界面的过程中均为匀速运动．已知M、N和N、P之间的高度差相等，均为h=L+$\frac{{5m}^{2}{gR}^{2}}{{{8B}^{4}L}^{4}}$，金属线框下落过程中金属线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，当地的重力加速度为g，试求：
（1）图示位置金属线框的底边到M的高度d；
（2）在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热；
（3）金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出线框进入磁场时受到的安培力，然后由平衡条件求出线框的速度，在应用动能定理求出高度．
（2）由能量守恒定律可以求出焦耳热．
（3）金属线框在穿过M界面的过程中作匀速运动，受力平衡，根据平衡条件和安培力与速度的关系式，求得匀速运动的速度，再由机械能守恒求出线框刚通过磁场边界N时的速度大小，得到安培力，由牛顿第二定律求解加速度的大小．

解答 解：（1）线框进入磁场时受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
线框进入磁场过程做匀速直线运动，由平衡条件得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
线框从静止到达M过程，由动能定理得：mgd=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：d=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）线框穿过P时匀速运动，由安培力与重力平衡可知穿过P时速度大小为v₁．
对从M到P过程，由能量守恒定律得：Q=2mgh=2mg（L+$\frac{5{m}^{2}g{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）；
（3）在穿过M的过程中
线框中产生的电动势 E=BLv₁
线框中产生的电流 I=$\frac{E}{R}$，
线框受到的安培力 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
由平衡得mg=F，解得 v₁=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
设线框刚到N界面时速度为v₂．
根据机械能守恒定律得：mg（h-L）=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₂=$\frac{\sqrt{5}mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$，
金属线框的底边刚通过磁场边界N时：
线框中产生的电动势 E′=2BLv₂
线框中产生的电流 I′=$\frac{E′}{R}$，
线框受到的安培力 F′=2BI′L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
根据牛顿第二定律得：mg-F′=ma，则得 a=（1-2$\sqrt{5}$）g＜0，说明加速度方向向上．
答：（1）图示位置金属线框的底边到M的高度d为$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热为2mg（L+$\frac{5{m}^{2}g{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）；
（3）金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框加速度的大小为（1-2$\sqrt{5}$）g．

点评 本题难点在于求NP的高度差，解决的突破口是线框在穿过M和P两界面的过程中均为匀速运动，这是题眼，其余是综合知识的应用，难度相对较大．