Question

（2011?淮南一模）为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物块的抛出点和A点的高度差；
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件．
（3）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件．

Answer 1

分析：（1）从抛出点到A点做平抛运动，根据平抛运动的规律可解得落到A点时竖直方向的速度v_y与h的关系，根据竖直方向速度v_y与水平方向速度v_x的夹角之间的关系，可以解得h．
（2）要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，结合动能定律列式求解．
（3）现根据第一问中求得到达A的速度，从A到B运用动能定理列方程，从B到环的最高点运用机械能守恒列方程，再根据到达最高点的临界条件m

v 2 P

R

≥mg，联立方程组求解R．

解答：解：（1）设从抛出点到A点的高度差为h，根据平抛运动的规律有：

v

2 y

=2gh
解得vy=

2gh

且 

vy

v0

=tan37°
代入数据解得h=0.45m  
（2）要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，即：

1

2

m

v

2 B

≤mgR′
解得R′≥1.65m 
（3）小物体到达A点时的速度：vA=

v 2 0 + v 2 y

从A到B，由动能定理：
mgLsin37°-μmgcos37°×L=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

小物体从B到环最高点机械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 P

+mg×2R
在最高点有：m

v 2 P

R

≥mg
由④⑤⑥⑦解得 R≤0.66m．
答：（1）小物块的抛出点和A点的高度差为0.45m；
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应大于等于1.65m．
（3）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，则竖直圆弧轨道的半径应小于等于0.66m．

点评：此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．