Question

（2013?湖南模拟）如图所示，匀强磁场分布在0≤x≤（2+

3

）L且以直线PQ为下边界的区域内，∠OPQ=30°．y≤0的区域内存在着沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计粒子重力）从电场中一点M（-2L，-

3

L）以初速度v_o沿x轴正向射出后，恰好经坐标原点O进入第I象限，最后刚好不能从磁场的右边界飞出．求：
（1）匀强电场的电场强度的大小E；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小B；
（3）粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达N的速度方向可利用速度的合成与分解得知此时的速度，根据牛顿第二定律可求出加速度与速度及位移关系，从而求出电场强度；
（2）应用动能定理即可求得电场中粒子的速度，粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，先画出轨迹图，找出半径；利用洛伦兹力提供向心力的公式，可求出在磁场中运动的半径．
（3）利用圆心与弦切角的关系计算出粒子所转过的圆心角θ的大小，用公式

t

T

=

θ

360°

可求出运动时间．

解答：解：粒子的运动轨迹如右图所示
（1）设粒子在电场中运动的时间为t₁
x方向匀速直线运动，则有：2L=v₀t₁
y方向初速度为零的匀加速直线运动，则有：

3

L=

1

2

a

t

2 1

根据牛顿第二定律：Eq=ma     
求出匀强电场强度：E=

3 m v 2 0

2qL

（2）y方向的速度：vy=at1=

3

v0
合速度的大小：v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0
合速度与y轴的夹角：tanθ=

vy

v0

=

3 v0

v0

=

3

，所以θ=60°所以粒子进入磁场，刚好不能从磁场的右边界飞出，运动的轨迹如图，
由几何关系得：R-Rcos30°=

1

2

(2+

3

)L，解得：R=(2+

3

)2L
带电粒子的洛伦兹力提供向心力．得：qvB=

mv2

R

联立方程解得：B=

2mv0

(2+ 3 )2qL

（3）由图中的几何关系可得：cosα=

R-(2+ 3 )L

R

=

5+2 3

7+4 3

，α=arccos

5+2 3

7+4 3

设带电粒子在磁场中运动的时间为t，则：

t

T

=

30°+α

2π

又：T=

2πR

v

=

π(2+ 3 )2L

v0

所以：t=

30°+arccos 5+2 3 7+4 3

2π

?

π(2+ 3 )2L

v0

=

30°+arccos 5+2 3 7+4 3

2v0

?(2+

3

)2L
答：（1）匀强电场的电场强度的大小E=

3 m v 2 0

2qL

；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小B=

2mv0

(2+ 3 )2qL

；
（3）粒子在磁场中的运动时间t=

30°+arccos 5+2 3 7+4 3

2v0

?(2+

3

)2L．

点评：该题考查了电场和磁场边界问题，不同场的分界面上，既是一种运动的结束，又是另一种运动的开始，寻找相关物理量尤其重要．
粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．
点粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点
圆心的确定：因洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力总垂直于速度，画出带电粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入磁场和射出磁场的两点）洛伦兹力的方向，其延长的交点即为圆心．或射入磁场和射出磁场的两点间弦的垂直平分线与一半径的交点即为圆心．
半径的确定：半径一般都在确定圆心的基础上用平面几何知识求解，常常是解直角三角形．
运动时间的确定：利用圆心与弦切角的关系计算出粒子所转过的圆心角θ的大小，用公式

t

T

=

θ

360°

可求出运动时间．
再者就是要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．