Question

3．如图所示，一固定斜面的倾角θ=37°，p点距斜面底端A点的距离x=5m．BC为一段光滑圆弧轨道，DE为半圆形光滑轨道，两圆弧轨道均固定于竖直平面内，两轨道的半径均为R=2m．滑板长L=7.1m，质量为M=1kg，静止在光滑水平地面上，滑板上表面与斜面水平底边的高度差H=4m，滑板右端紧靠C点，上表面恰能与两圆弧相切于C点和D点，滑板左端到半圆形轨道下端D点的距离L'=3.3m．一物块（可视为质点）质量m=1kg从斜面上的p点由静止下滑，物块离开斜面后恰在B点沿切线进入BC段圆弧轨道，经C点滑上滑板，滑板左端到达D点时立即被牢固粘连．物块与斜面、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）物块滑到C点的速率v_C；
（2）物块滑到C点时对圆弧轨道的压力大小N；
（3）物块最终静止时的位置到C点的距离S．

Answer 1

分析 （1）滑块从静止滑到C点过程，应用动能定理可以求出到达C点的速度．
（2）在C点，由重力和支持力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出支持力，再得到物块对轨道的压力．
（3）应用牛顿第二定律和运动学位移公式求出滑块与滑板的位移，然后判断两者共速时的位置关系，再求解物块最终静止时的位置到C点的距离S．

解答 解：（1）根据动能定理得：
  mg（xsinθ+H）-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}mv_c^2$-0
解得 v_C=10m/s
（2）在C点，由牛顿第二定律得
  N′-mg=$m\frac{v_c^2}{R}$
解得 N′=60N
由牛顿第三定律得，物块滑到C点时对圆弧轨道的压力大小N=N′=60N
（3）设物块与滑板能达到共同速度v，即物块未从滑板上落下来，滑板也未与D点相撞．
物块：v=v_c-μgt
滑板：v=μgt
解得 t=1s，v=5m/s
物块的位移 S₁=$\frac{{{v_c}+v}}{2}t$=7.5m
滑板的位移 S₂=$\frac{0+v}{2}t$=2.5m
因滑板的位移 S₂=2.5m＜L′=3.3m
则知滑板未到达D点
物块相对于滑板的位移  S_相=S₁-S₂=5m＜L=7.1m
物块未从滑板上落下，达到共同速度后，物块与滑板一起匀速运动距离0.8m滑板到达D点，滑板撞停后，物块独自匀减速运动到D点．
 v_D²-v²=-2μg（L-S_相），得 v_D=2m/s
因为v_D=2m/s＜$\sqrt{2gR}$，所以物块不会脱轨，再次回到D点后做匀减速直线运动，设其向右减速的最大位移为S₃：
得 S₃=$\frac{v_D^2}{2μg}$=0.4m
物块最终静止时的位置到C点的距离：S=L+L′-S₃=10m
答：
（1）物块滑到C点的速率v_C是10m/s．
（2）物块滑到C点时对圆弧轨道的压力大小N是60N．
（3）物块最终静止时的位置到C点的距离S是10m．

点评 本题是一道力学综合题，关键要分析清楚物块的运动情况，把握每个过程的物理规律，应用动能定理、牛顿第二定律和运动学规律解题．