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    2．竖直平面（纸面）内有一半径为R的圆形区域，O为圆心，如图所示．在该圆形区域内加一竖直方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子沿图中水平直径AO从圆上的A点以速度v射入圆形区域，在圆上的D点离开该区域，已知图中θ=120°．现将电场换为充满该区域垂直纸面的匀强磁场，同一粒子以同样速度沿直径从A点射入圆形区域，也在D点离开该区域．不计粒子重力．
    （1）求电场强度的大小和方向以及磁感应强度的大小和方向；
    （2）求粒子经电场从A到D的时间以及经磁场从A到D的时间；
    （3）若沿纸面内从A点同时向磁场区域各个方向以大小相同的速度v均匀射入该粒子，则沿AO方向射入的粒子从D点射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是多少？并简述理由．

    分析 （1）粒子在匀强电场中粒子做类平抛运动，由平抛规律结合牛顿第二定律即可求出电场强度大小；加磁场时，粒子做匀速圆周运动，画出粒子在磁场中的运动轨迹图象，由几何关系可以得到轨道半径，进而由洛伦兹力提供向心力可得磁感应强度的大小，利用左手定则即可判断出磁场的方向．
    （2）粒子在磁场中运动时，根据轨迹的圆心角求解时间，由类平抛的规律得到电场运动的时间，即可解答．
    （3）找出沿AO方向射入的粒子从D点射出时，恰好从磁场中射出粒子的初速度方向，进而找到还在磁场中运动的粒子的初速度角度范围，利用初速度角度之比即可求出还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例．

    解答 解：（1）加电场时，粒子在电场中做类平抛运动，
    根据牛顿第二定律可得：Eq=ma ①
    类平抛规律有：R+Rcos60°=vt ②
    Rsin60°=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ③
    联立①②③式可得：E=$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，电场方向：竖直向下
    加磁场时，粒子从A到D有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
    由几何关系有：r=Rtan$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{3}$R⑤
    联立④⑤式得：B=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，
    根据左手定则可知，磁场方向：垂直纸面向里
    （2）由②式可得粒子经电场从A到D的时间：t=$\frac{3R}{2v}$
    粒子在磁场中运动，由几何关系可知：圆心角α=60°  
    圆运动周期：T=$\frac{2πr}{v}$  ⑥
    联立⑤⑥式可得，粒子经磁场的运动时间：t′=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$
    （3）如图所示，沿AO方向射入的粒子从D点射出时，从A点发射的与水平方向成θ2=60°粒子恰好从圆形区域的C点射出，
    则此时：入射初速度方向在角θ1=30°的范围内的粒子已飞离磁场；
    入射初速度方向在角θ2=60°的范围内的粒子仍在磁场中运动，
    入射初速度方向在角θ3=90°的范围内的粒子已飞离磁场，

    所以沿AO方向射入的粒子从D点射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例：$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}+{θ}_{2}+{θ}_{3}}$=$\frac{60°}{180°}$=$\frac{1}{3}$
    答：（1）电场强度的大小为$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，电场方向竖直向下；磁感应强度的大小为$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，方向垂直纸面向里；
    （2）粒子经电场从A到D的时间以及经磁场从A到D的时间为$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$；
    （3）若沿纸面内从A点同时向磁场区域各个方向以大小相同的速度v均匀射入该粒子，则沿AO方向射入的粒子从D点射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是$\frac{1}{3}$．

    点评 本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动以及在磁场中的匀速圆周运动，解题关键问题是做出粒子的运动轨迹，结合运动形式选择合适的规律解决问题，带电粒子在磁场中的运动，一定要掌握好几何方法；第（3）问考查定圆绕定点的旋转模型，利用初速度方向角度范围之比去求粒子占所有粒子的比例，对学生几何能力要求较高．

    练习册系列答案
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    C．彼此远离，加速度变小且两者的加速度大小时刻相等
    D．彼此远离，两者的加速度大小和速度大小不会时刻相等

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    （2）物体沿斜面CD上升的最大高度h和时间t；
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