Question

1．如图，固定直杆上套有一小球和两根轻弹簧，两根轻弹簧的一端与小球相连，另一端分别固定在杆上相距为2L的A、B两点．直杆与水平面的夹角为θ，小球质量为m，两根轻弹簧的原长均为L、劲度系数均为$\frac{3mgsinθ}{L}$，g为重力加速度．
（1）小球在距B点$\frac{4}{5}$L的P点处于静止状态，求此时小球受到的摩擦力大小和方向；
（2）设小球在P点受到的摩擦力为最大静摩擦力，且与滑动摩擦力相等．现让小球从P点以一沿杆方向的初速度向上运动，小球最高能到达距A点$\frac{4}{5}$L的Q点，求初速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小球在B点时，两根弹簧的形变量相等，弹力大小相等，结合胡克定律求出弹簧的弹力，根据共点力平衡求出小球受到的摩擦力大小和方向．
（2）小球在P、Q两点时，弹簧的弹性势能相等，抓住弹簧弹力做功为零，结合动能定理求出初速度的大小．

解答 解：（1）小球在P点时两根弹簧的弹力大小相等，设为F，根据胡克定律有
F=k （L-$\frac{4}{5}$L）                         ①
设小球静止时受到的摩擦力大小为f，方向沿杆向下，根据平衡条件有
Mgsinθ+f=2F                       ②
由①②式并代入已知数据得
f=$\frac{mgsinθ}{5}$      ③
方向沿杆向下                             ④
（2）小球在P、Q两点时，弹簧的弹性势能相等，故小球从P到Q的过程中，弹簧对小球做功为零，⑤
据动能定理有W_合=△E_k ⑥
即：-mg•2（L-$\frac{4}{5}$L）sinθ-f•2（L-$\frac{4}{5}$L）=0-$\frac{1}{2}$mv² ⑦
由③⑦式得v=$\frac{2\sqrt{6gLsinθ}}{5}$．
答：（1）此时小球受到的摩擦力大小为$\frac{mgsinθ}{5}$，方向沿杆向下．
（2）初速度的大小为$\frac{2\sqrt{6gLsinθ}}{5}$．

点评 本题考查了动能定理与胡克定律和共点力平衡的综合运用，解决本题的关键知道两根弹簧的弹力大小相等，以及小球在不同的位置，两弹簧形变量相等，弹性势能相等，在两点之间运动弹力不做功．