Question

20．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω₀；
（2）若ω=（1±k）ω₀，且0＜k≤1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当ω＞ω₀，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．当ω＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圆周运动的向心力，有
  mgtanθ=mω${\;}_{0}^{2}$•Rsinθ
解得ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）当ω=（1+k）ω₀时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对小物块的支持力为F_N，沿水平和竖直方向建立坐标系，则：
水平方向：F_Nsinθ+fcosθ=mω²•Rsinθ
竖直方向：F_Ncosθ-fsinθ-mg=0
代入数据解得：f=$\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}$mg
同理，当ω=（1-k）ω₀时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则：
水平方向：F_Nsinθ-fcosθ=mω²•Rsinθ
竖直方向：F_Ncosθ+fsinθ-mg=0
代入数据解得：f=$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}$mg．
答：
（1）ω₀为$\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）当ω=（1+k）ω₀时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为$\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}$mg．当ω=（1-k）ω₀时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}$mg．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．