Question

两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间距为l．导轨上面横放着两根导体棒PQ和MN，构成矩形回路，如图所示．导体棒PQ的质量为m、MN的质量为2m，两者的电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒MN静止处于距导轨右端为d处，PQ棒以大小为v₀的初速度从导轨左端开始运动（如图）．忽略回路的电流对磁场产生的影响．
（1）求PQ棒刚开始运动时，回路产生的电流大小．
（2）若棒MN脱离导轨时的速度大小为

v0

4

，则回路中产生的焦耳热是多少？
（3）若原来回路中靠近MN棒一侧的导轨中串联接有一个恒流电源，该电源使回路中的电流大小始终保持为I₀（沿PMNQP方向），试讨论MN棒脱离导轨时速度v的大小与d的关系．

Answer 1

分析：（1）本题中两根导体棒的运动情况：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流，由法拉第电磁感应定律，求出棒PQ产生的电动势，再求出回路产生的电流大小；
（2）ab棒受到的与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速，两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动，由于平行金属导轨位于同一水平面且两棒均可沿导轨无摩擦地滑行，故由两棒组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒mv₀=2mv，再由能量守恒求出焦耳热的关键；
（3）回路中的电流始终保持为I₀，则棒PQ和MN所受的安培力大小保持不变．若d足够长，则棒PQ先向右匀减速运动再向左匀加速运动，返回轨道左端时速度大小仍为v₀，而这个过程棒MN一直向右匀加速运动，使用动量守恒定律和动能定理可以求出结果．

解答：解：（1）由法拉第电磁感应定律，棒PQ产生的电动势E=Blv₀①
则回路产生的电流大小I=

Blv0

2R

②
（2）棒PQ和MN在运动过程中始终受到等大反向的安培力，系统的动量守恒，得mv0=mv1+2m?

v0

4

③
由能量守恒定律，回路中产生的焦耳热为Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

-

1

2

2m(

v0

4

)2④
解得Q=

5

16

m

v

2 0

⑤
（3）回路中的电流始终保持为I₀，则棒PQ和MN所受的安培力大小保持不变．若d足够长，则棒PQ先向右匀减速运动再向左匀加速运动，返回轨道左端时速度大小仍为v₀，而这个过程棒MN一直向右匀加速运动，由动量守恒定律得mv0=m(-v0)+2m

v

′ 2

⑥
设这个过程棒MN的位移为x，由动能定理得I0Blx=

1

2

2mv′

2 2

⑦
解得x=

m v 2 0

I0Bl

⑧
讨论：
①当d＜

m v 2 0

I0Bl

时，棒MN在导轨上一直向右匀加速运动直到脱离导轨，由动能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脱离导轨时的速度v=

I0Bld m

⑨
②当d≥

m v 2 0

I0Bl

时，棒PQ先从导轨左端脱离导轨，棒MN之后保持匀速运动直到脱离导轨，脱离导轨时的速度v=v'₂=v₀⑩
答：（1）PQ棒刚开始运动时，回路产生的电流I=

Blv0

2R

；
（2）若棒MN脱离导轨时的速度大小为

v0

4

，则回路中产生的焦耳热是Q=

5

16

m

v

2 0

；
（3）MN棒脱离导轨时速度v的大小与d的关系．①当d＜

m v 2 0

I0Bl

时，棒MN在导轨上一直向右匀加速运动直到脱离导轨，由动能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脱离导轨时的速度v=

I0Bld m

②当d≥

m v 2 0

I0Bl

时，棒PQ先从导轨左端脱离导轨，棒MN之后保持匀速运动直到脱离导轨，脱离导轨时的速度v=v'₂=v₀．

点评：点评：第一问半径简单，第二问是动量守恒定律、牛顿第二定律及能量守恒定律在电磁感应现象中的应用问题，分析两棒组成的系统在运动过程中是不是合外力为零或者内力远大于外力的系统总动量守恒的条件，从而为确定两棒最后的末速度找到解决途径是关键，之后分析这类电磁感应现象中的能量转化较易：系统减少的动能转化为回路的焦耳热；第三问较为复杂：是动生电动势、动量守恒定律、牛顿第二定律及闭合电路欧姆定律综合的力电综合问题，故本题属于难题．