Question

19．“神舟八号”与“天宫一号”对接前各自绕地球运动，设“天宫一号”在半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，“神舟八号”在半径为r₂的圆轨道上运动，r₁＞r₂，则（　　）

• A． “神舟八号”的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• B． “天宫一号”的运行速度大于7.9km/s
• C． 地球表面的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• D． 地球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力，据此得到周期、线速度的表达式，由半径大小比较周期大小和线速度大小，从第一宇宙速度的物理意义比较卫星的运行速度大小．

解答 解：ABC、对于任意人造地球卫星，根据万有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得卫星的周期为：T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，线速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
所以“神舟八号”与“天宫一号”周期之比为：$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，可知，“神舟八号”的周期为：T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
由 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$知，“天宫一号”的运行速度小于近地卫星的速度，即小于第一宇宙速度7.9km/s，故A正确，B错误；
C、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，得卫星的加速度为：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，则“天宫一号”的加速度为：a=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$
由a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，知卫星的轨道半径越大，加速度越小，所以“天宫一号”小于地球表面的重力加速度g，即有 g＞a=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$．故C错误．
D、根据G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以研究“天宫一号”可得，地球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．故D正确．
故选：AD

点评 能根据卫星轨道半径大小分析描述圆周运动的物理量之间的大小关系是正确解题的关键，知道第一宇宙速度的物理意义及卫星变轨原理是正确解题的关键．