Question

如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场；第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场E₁和垂直xy平面（纸面）向里的匀强磁场；在第四象限，存在沿y轴正方向、场强大小E₂的匀强电场（E₂=2E₁但E₁、E₂均未知）．一质量为m、电量为q的带电质点，从y轴上处的P点以水平初速度v₀沿x轴负方向进入第二象限．然后经过x轴上的P₁点与x轴成θ=60°（如图示）进入第三象限，在第三象限内带电质点恰好能做匀速圆周运动，之后垂直于y轴，经P₂点进入第四象限．重力加速度为g，m、v₀、q均为已知量．求：
（1）粒子到达P₁点时速度v₁的大小及P₁点到O点的距离x；
（2）第三象限空间中电场强度E₁和磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析：（1）带电粒子先在第二象限内做平抛运动，将运动分解成水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动，从而求出粒子到达P₁点时速度的大小及P₁点到O点的距离x；
（2）当带电粒子进入第三象限内的电场、磁场与重力场中时，重力与电场力相平衡，洛伦兹力提供向心力使其做匀速圆周运动，由平衡可得出电场强度大小，再几何关系可求出磁感应强度大小．

解答：解：（1）对粒子，在第二象限内作平抛过程中，依几何关系：v₁=

v0

cos60°

=2v₀，
对粒子，在平抛过程中，设水平位移为x，则有：
x=v₀t…①
tan60°=

vy

vx

=

gt

v0

…②
联立①②两式得：x=v₀?

3 v0

g

=

3 v 2 0

g

（2）要想在第三象限内作匀速圆周运动，必定有：
qE₁=mg，
得：E₁=

mg

q

当洛伦兹力充当向心力时：qv₁B=m

v 2 1

r

又几何关系可得：r=

x

sin60°

=

2 v 2 0

g

联立上述几式得：B=

mg

qv0

答：（1）粒子到达P₁点时速度v₁的大小为2v₀，P₁点到O点的距离x为

3 v 2 0

g

；
（2）第三象限空间中电场强度E₁为

mg

q

，磁感应强度B的大小为

mg

qv0

．

点评：本题考查带电粒子在场中两种种运动模型：匀速圆周运动、平抛运动，关键要知道在电磁场中只有重力与电场力平衡时粒子才能做匀速圆周运动，再画出轨迹，根据几何关系求出轨道半径．