Question

一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底面是封闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底，在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动，开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示现用卷扬机通过绳子对活塞施加一向上的力F使活塞缓慢向上移动，已知圆管半径为r＝0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×10³kg/m³，大气压p₀＝1.00×10⁵Pa，求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功(井和管在水面上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦力，重力加速度g＝10m/s²)．

Answer 1

答案：
解析：

巧解分析：从开始提升活塞到内外的水面高度差为 　　　　  h0＝＝10m   的过程中，活塞始终与管内液体接触(再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论)．设活塞上升距离为h1，管外液面下降h2， 　　　　 h0＝h1＋h2，① 　　因液体体积不变，有： 　　　　 h2＝h1()＝h1，② 　　得   h1＝h0＝7.5m，③ 题给H＝9m＞h1，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程． 　　活塞移动距离从零到h1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力做的功．因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能的增量，即 　　　　 ΔE＝ρ(πr2h1)g，④ 　其他力有管内、外的大气压和拉力F．因为液体不可压缩，所以管内、外大气压做的总功 　　　　 p0π(R2－r2)h2－p0πr2h1＝0， 故外力做的功就只是拉力F做的功，由功能关系知： 　　    W1＝ΔE，⑤ 　即    W1＝ρπr2g＝1.18×104J，⑥ 　活塞移动距离从h1到H的过程中，液面不变，F是恒力F＝πr2p0，做功 　　    W2＝F(H－h1)＝πr2p0(H－h1)＝4.71×103J，⑦ 　　所求拉力F做的总功为 　　　　   W1＋W2＝1.65×104J．⑧

提示：

命题意图：本题考查能量守恒定律，力做功等知识的综合分析能力．