Question

8．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r=0.2m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐．一个质量为1kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度为h=0.6m处静止释放小球，它与BC间的动摩擦因数μ=0.5，小球进入管口C端时，它对上管壁有F_N=2.5mg的相互作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧的弹性势能为E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球在C处受到的向心力大小；
（2）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km； 
（3）小球最终停止的位置．

Answer 1

分析 （1）对小球进行受力分析即可求出向心力；
（2）在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零，然后结合机械能守恒即可求出小球的最大动能；
（3）由功能关系和C点的向心力的表达式，即可求出．

解答 解：（1）小球进入管口C端时它与圆管上管壁有大小为F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力为：F_向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10=35N   
（2）在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零．
设此时滑块离D端的距离为x₀，则有 kx₀=mg
解得x₀=$\frac{mg}{k}$=0.1m 
由机械能守恒定律有   mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}$mv_C²=E_km+E_p   
得E_km=mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}$mv_C²-E_p=3+3.5-0.5=6（J） 
（3）在C点，由F_向=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{r}$
代入数据得：v_c=$\sqrt{7}$m/s      
滑块从A点运动到C点过程，由动能定理得 mg•h-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_C² 
解得BC间距离s=0.5m  
小球与弹簧作用后返回C处动能不变，小滑块的动能最终消耗在与BC水平面相互作用的过程中．
设物块在BC上的运动路程为sˊ，由动能定理有 0-$\frac{1}{2}$mv_C²=-μmgsˊ
解得sˊ=0.7m  
故最终小滑块距离B为0.7-0.5m=0.2m处停下
答：（1）小球在C处受到的向心力大小是35N；
（2）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km是6J； 
（3）小球最终停止的位置是距离B为0.2m处停下．（或距离C端0.3m）．

点评 本题综合运用了机械能守恒定律、动能定理、功能关系以及牛顿第二定律，综合性较强，是高考的热点题型，需加强这方面的训练．