气球下系一根足够长的绳子(其质量可以忽略不计),一只猴子攀于系点处(系点离地面高h),整个系统静止在空中,如果猴子从某时刻开始,沿绳子匀加速下滑至地面,那么绳子至少要多长?已知气球的质量为m1,猴子的质量为m2.
绳子最短长度应为
L=h(1+m
2/m
1)
【试题分析】
解法一(运用牛顿运动定律来解)
设气球受的浮力为F
1,猴子匀加速下滑时,绳子的拉力为F
2.因猴子下滑前,系统静止,所以有
F
1-m
1g-m
2g=0 ①
在猴子匀加速下滑的过程中,对猴子运用牛顿第二定律,得
m
2g-F
2=m
2a
2 ②
在此过程中,对气球运用牛顿第二定律,得
F
1-m
1g-F
2=m
1a
1 ③
又设猴子落地时,气球上升的高度为h′.对猴子和气球分别运用运动学公式,得 h=
a
2t
2④
h′=
a
1t
2⑤
由④⑤式得 a
1/a
2=h′/ h⑥
由①②③式得 a
1 /a
2=m
2 /m
1⑦
由⑥⑦式得h′/ h=m
2 /m
1即h′=h?m
2/m
1故绳子最短长度应为
L=h+h′=h(1+m
2/m
1)
解法二(运用动能定理来解)
对猴子下滑过程运用动能定理
(m
2g-F
2)h=
m
2-0⑧
对气球上升过程运用动能定理
(F
1-m
1g-F
2)h′=
m
1-0⑨
因猴子下滑、气球上升都是匀加速直线运动,由平均速度公式,分别得
(0+v
1)=h′/t,
(0+v
2)=h/t⑩
联立①⑧⑨⑩式,得绳子最短长度应为L=h+h′=h(1+m
2/m
1).
解法三(运用动量守恒定律来解)
把猴子和气球看成一个系统,该系统在猴子下滑过程中所受外力之和为零,故在此过程中系统的总动量守恒
m
1v
1-m
2v
2=0+0 {11}
联立⑩{11}两式,即得
L=h+h′=h(1+m
2/m
1)