Question

（18分）如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场．A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为g（g>0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板L处有一固定档板，长为L的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触Q开始，经历时间To第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的求：

       （l）小球第一次接触Q时的速度大小，

       （2）假设小球第n次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间Tn的表达式，

       （3）若k=2，且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力为，试求带电小球最终停止的位置距P点的距离．

Answer 1

（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a。

       根据牛顿第二定律有 qE=ma                                   （1分）

       对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有v2=2al    （2分）

       联立解得v=                          （2分）

       （2）小球每次离开Q的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小

       v=                        （2分）

       设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为an，速度由v减为零

所需时间为tn，小球离开Q所带电荷量为qn，则

       qnE=man                                               （1分）

                                       （1分）

                                      （1分）

       联立解得                             （1分）

       小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间

                                                （2分）

       （3）假设小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L1，则

       即              （2分）

假设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L2，则

    即         （3分）

又因此时电场力，即带电小球可保持静止   （1分）

带电小球最终停止的位置距P点的距离为

                                （1分）