Question

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为，金属框置于xOy平面内，长边MN长为平行于y轴，宽为的NP边平行于x轴，如图5-1所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为，最大值为，如图5-2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为()。
（1）简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
（2）为使列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的什么位置及与d之间应满足的关系式；
（3）计算在满足第(2)问的条件下列车速度为时驱动力的大小。

Answer 1

（1）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。
（2）或
（3）

（1）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。
（2）为使列车获得最大驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大，因此，应为的奇数倍，即:或
（3）由于满足第(2)问条件，则MN、PQ边所在处的磁感应强度大小均为且方向总相反，经短暂时间，磁场没Ox方向平移的距离为,，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为．因为，所以在时间内MN边扫过磁场的面积：
在此时间内，MN边左侧穿过S的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化：
同理，在时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通量引起框内磁通量变化：
故在时间内金属框所围面积的磁通量变化：
根据法拉第电磁感应定律,金属框中的感应电动势大小：
根据闭合电路欧姆定律有：
根据安培力公式，MN边所受的安培力：
PQ边所受的安培力：
根据左手定则，MN、PQ边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小：
联立解得：