Question

13．如图所示，质量为1kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点，O点距地面高度为5.4m．如果使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动，若细线受到拉力为12.5N时就会拉断，求：
（1）当小球的角速度为多大时线将断裂？
（2）小球落地点与悬点的水平距离．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根据几何关系求出最大向心力，根据向心力公式求出最大角速度；
（2）绳断裂后，小球做平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解．

解答 解：（1）小球在水平面内做圆周运动时，由重力G和拉力F的合力提供向心力，当绳子拉力为12.5N时，向心力最大，则有：
F_合=$\sqrt{{F}^{2}-（mg）^{2}}$=$\sqrt{12．{5}^{2}-（1×10）^{2}}$=7.5N
合力与竖直方向之间的夹角：$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{1×10}{12.5}=\frac{4}{5}$
则：θ=37°
根据几何关系得：r=L•sin37°=0.5×0.6=0.3m
根据向心力公式得：
F_合=mω²r
代入数据解得：ω=5rad/s
（2）绳断裂后，小球做平抛运动，初速度为：v=ωr=5×0.3=1.5m/s
竖直方向下落的高度为：h=5.4-0.5×cos37°=5.0m
所以t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
水平位移为：x₀=vt=1.5×1=1.5m
则：x=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{1．{5}^{2}+0．{3}^{2}}=\sqrt{2.34}$m
答：（1）当小球的角速度为5rad/s时，线将断裂．
（2）断裂后小球落地点与悬点的水平距离为$\sqrt{2.34}$m．

点评 该题将受力分析、水平面内的圆周运动与平抛运动结合在一起，属于小综合，解决本题的关键搞清小球做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．