Question

3．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管轨道固定在竖直平面内，最低点与水平地面相切．两个质量均为m的小球A、B以不同的初速度从最低点向右进入管内，A球通过最高点C时，对管壁上侧的压力大小为mg，B球通过最高点C时，对管壁下侧的压力大小为0.5mg．求：
（1）A、B两球通过C点时的速度v_A、v_B的大小；
（2）A、B两球落地点间的距离d．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第三定律求得小球在C处受到管壁的作用力，然后由牛顿第二定律求解速度；
（2）根据平抛运动规律由竖直位移求得运动时间，即可求得水平位移，从而得到距离．

解答 解：（1）A球通过最高点C时，对管壁上侧的压力大小为mg，那么管壁对A球的作用力为mg，方向竖直向下；
对A球在C处应用牛顿第二定律可得：$mg+mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{A}=\sqrt{2gR}$；
B球通过最高点C时，对管壁下侧的压力大小为0.5mg，那么管壁对B球的作用力为0.5mg，方向竖直向上；
对B球在C处应用牛顿第二定律可得：$mg-0.5mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{0.5gR}$=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）A、B两球从C点水平抛出做平抛运动，故有$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，所以，$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}$；
那么，A、B两球落地点间的距离$d={v}_{A}t-{v}_{B}t=\frac{\sqrt{2gR}}{2}×2\sqrt{\frac{R}{g}}=\sqrt{2}R$；
答：（1）A、B两球通过C点时的速度v_A为$\sqrt{2gR}$，v_B为$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）A、B两球落地点间的距离d为$\sqrt{2}R$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．