Question

8．如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B₀=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：

（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）金属棒ab的电阻r；
（3）cd离NQ的距离s；
（4）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量．

Answer 1

分析 （1）当刚释放时，导体棒中没有感应电流，所以只受重力、支持力与静摩擦力，由牛顿第二定律可求出动摩擦因数．
（2）当金属棒速度稳定时，受到重力、支持力、安培力与滑动摩擦力达到平衡，这样可以列出安培力公式，产生感应电动势的公式，再由闭合电路殴姆定律，列出平衡方程可求出金属棒的内阻；
（3）结合闭合电路的欧姆定律，利用通过棒的电量来确定金属棒移动的距离．
（4）金属棒滑行至cd处的过程中，由动能定理可求出安培力做的功，而由于安培力做功导致电能转化为热量．

解答 解：（1）由图乙知，当v=0时，a=2m/s²，根据牛顿第二定律得
  mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入数据解得：μ=0.5       
（2）由图乙可知：金属棒的最大速度为 v_m=2m/s  
当金属棒达到稳定速度时作匀速运动，有：
  E=B₀Lv_m；
感应电流 I=$\frac{E}{R+r}$
安培力 F_A=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
受力平衡得：mgsinθ=F_A+μmgcosθ
解得 r=1Ω
（3）通过棒的电量 q=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$
则得 s=$\frac{q（R+r）}{BL}$=2m
（4）棒下滑的过程中重力、摩擦力与安培力做功，根据动能定理得：mgh-μmgs•cos37°-W_F=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-0
根据功能关系知，Q_总=W_F；
电阻R上产生的热量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q_总=0.08J
答：
（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数0.5；
（2）金属棒ab的电阻是1Ω；
（3）cd离NQ的距离是2m；
（4）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量是0.08J．

点评 本题的关键要正确分析金属棒的运动情况，由闭合电路殴姆定律、法拉第电磁感应定律和安培力公式推导出安培力与速度的关系、由法拉第电磁感应定律和欧姆定律推导出电荷量与距离的关系式，根据磁通量的变化算出棒的距离是常用的思路．