Question

4．长为L的轻绳一端固定，另一端系住一个质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动．设在圆周最高点时，绳的张力为零，小球机械能为零．求：
（1）小球在最低点时的绳的张力；
（2）小球在最低点时的重力势能．

Answer 1

分析 （1）在圆周最高点时，绳的张力为零，重力恰好提供向心力，求出最高点速度；小球运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律先求出最低点速度，然后根据拉力和重力的合力提供向心力得出最低点绳的张力．
（2）由机械能守恒定律求得小球在最低点时的重力势能．

解答 解：（1）在最高点，绳的张力为零，应有：
mg=$m\frac{v_0^2}{L}$，
所以有：v₀=$\sqrt{gL}$…①
从最高点到最低点的过程中机械能守恒：
 mg•2L=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}mv_0^2$…②
在最低点，由牛顿第二定律得：T-mg=$m\frac{v^2}{L}$…③
联立可得：T=6mg．
（2）由①②式可求出小球在最低点的动能：
 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{5}{2}$mgL…④
由机械能守恒定律得，在最低点小球的机械能也为零：
E_p+E_k=0
故有：E_p=-E_k=$-\frac{5}{2}$mgL．
答：（1）小球在最低点时绳的张力是6mg；（2）小球在最低点时的重力势能是$-\frac{5}{2}$mgL．

点评 本题的切入点在于小球恰好通过最高点，关键是对运动过程运用机械能守恒定律以及合力提供向心力列式分析求解．