Question

3．如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面向里．竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l．带电量 q＞0，质量为m的小球P，以初速度v从a对准b射入磁场．略去空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m 和B均为不变的给定量． 
（1）若无论 l 取什么值，均可使P 经直线运动通过b 点，试问v应取什么值？
（2）若v为（1）问可取值之外的任意值，则 l可取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？
（3）对每一个满足（2）问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间．
（4）对每一个满足（2）问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，再求P在以后运动过程中可达到的最大运动速率v_max．

Answer 1

分析 （1）小球受重力和洛仑兹力，根据平衡条件列式求解；
（2）（3）设第一问的速度为v₁，将速度v分解为v₁和另一个速度v₂，则以v₁向右做匀速直线运动的同时，以速度v₂做匀速圆周运动，实际运动是两个分运动的合运动；故通过b点时，圆周运动是整数圈数；
（4）初速度为零，分解为一对相反的水平速度，大小等于第一问的速度值即可．

解答 解：（1）小球受重力和洛仑兹力，做直线运动，合力如果不为零，与速度不共线，矛盾，故小球做匀速直线运动，故：
mg=qvB
解得：
v=$\frac{mg}{qB}$
（2）如果速度不等于$\frac{mg}{qB}$，则洛仑兹力不等于重力，做曲线运动；
将速度v分解为向右的速度v₁=$\frac{mg}{qB}$和水平速度v₂=|v-$\frac{mg}{qB}$|，故小球的实际运动是以v₁向右做匀速直线运动和以速度v₂做匀速圆周运动的合运动；
运动时间为：t=$\frac{l}{{v}_{1}}=\frac{lqB}{mg}$；
粒子的圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，故：
t=nT
联立解得：
l=$\frac{{2πn{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$   （其中n=1、2、3、…）
（3）由第二问分析可知：t=nT=$\frac{2πnm}{qB}$  （其中n=1、2、3、…）
（4）初速度为零，分解为一对相反的水平速度，分速度大小均为$\frac{mg}{qB}$；
故水平分运动的位移为l的运动时间为：t=$\frac{l}{{v}_{1}}$=$\frac{2πn•m}{qB}$（其中n=1、2、3、…）
小球的圆周运动（分运动）的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
故t=nT
故小球也可以通过b点；
当两个分运动的速度相同时，速度最大，故：
v_max=2v₁=$\frac{2mg}{qB}$
答：（1）若无论 l 取什么值，均可使P 经直线运动通过b 点，问v应为$\frac{mg}{qB}$；
（2）若v为（1）问可取值之外的任意值，则当l=$\frac{{2πn{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$ （其中n=1、2、3、…）时，可使P必定会经曲线运动通过b点；
（3）对每一个满足（2）问要求的l值，各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间均为$\frac{2πnm}{qB}$ （其中n=1、2、3、…）．
（4）对每一个满足（2）问要求的l值，P能从a静止释放后通过b点，P在以后运动过程中可达到的最大运动速率v_max为$\frac{2mg}{qB}$．

点评 本题思路冷僻，关键是将合运动分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动进行分析，故只要能够到达b点，时间都是相等的，不难．