Question

15．如图所示，阶梯的每个台阶的宽和高都是0.1m，一小球以v₀=2m/s的水平速度从顶部（第0台阶）抛出，小球能落到第8或9台阶上，若要使小球能落到第9台阶上，则初始水平速度为$2m/s＜v＜\frac{3}{2}\sqrt{2}m/s$（g取10m/s²）

Answer 1

分析 判断小球落在哪一级台阶，可以先求出小球位移与水平方向夹角为45度时的时间，从而得出水平位移，判断落在哪一台阶．要使小球落在第九级台阶，结合两个临界状态，根据平抛运动的规律求出初速度．

解答 解：根据tan45°=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$得，t=$\frac{2{v}_{0}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$，
根据$n=\frac{{v}_{0}t}{x}=\frac{2×0.4}{0.1}=8$．可知小球落到第8级或第9级台阶．
若小球打在第8级台阶的边缘上，则h₁=8×0.1m=0.8m
根据${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
此时的初速度${v}_{1}=\frac{x}{t}=\frac{0.1×8}{0.4}m/s=2m/s$，
若小球打在第9级台阶的边缘上，则h₂=9×0.1=0.9m．
根据${h}_{2}=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.9}{10}}s=\frac{3\sqrt{2}}{10}s$，
此时的初速度${v}_{2}=\frac{{x}_{2}}{{t}_{2}}=\frac{0.9}{\frac{3\sqrt{2}}{10}}m/s=\frac{3\sqrt{2}}{2}m/s$．
则初始速度的范围为$2m/s＜v＜\frac{3\sqrt{2}}{2}m/s$．
故答案为：8（或9），$2m/s＜v＜\frac{3}{2}\sqrt{2}m/s$

点评 解决本题的关键掌握临界情况，结合平抛运动水平方向和竖直方向上的运动规律进行求解．