Question

在真空室内取坐标系xOy，在x轴上方存在二个方向都垂直于纸面向外的磁场区Ⅰ和Ⅱ（如图），平行于x轴的虚线MM’和NN’是它们的边界线，两个区域在y方向上的宽度都为d、在x方向上都足够长．Ⅰ区和Ⅱ区内分别充满磁感应强度为B和

2

3

B的匀强磁场．一带正电的粒子质量为m、电荷量为q，从坐标原点O以大小为v的速度沿y轴正方向射入Ⅰ区的磁场中．不计粒子的重力作用．
（1）如果粒子只是在Ⅰ区内运动而没有到达Ⅱ区，那么粒子的速度v满足什么条件？粒子运动了多长时间到达x轴？
（2）如果粒子运动过程经过Ⅱ区而且最后还是从x轴离开磁场，那么粒子的速度v又满足什么条件？并求这种情况下粒子到达x轴的坐标范围？

Answer 1

分析：该题（1）中，粒子在一个磁场中运动，再次等待x轴时，用的时间是半个周期，该问较容易．（2）问中，两部分的磁场强度不同，故半径也不同，这是解题的关键．根据半径的公式：r=

mv

qB

，可知粒子在MN之间的半径是粒子在OM之间半径的1.5倍，因此要认真仔细地做出运动的图线，找出各物理量之间的关系，把两个临界条件（恰好到达M和恰好到达N）代入公式算出结果．

解答：解：粒子恰好没有到达M的轨迹如图，则：R=d
由洛伦兹力提供向心力：qvB=

mv2

R

得：v=

qBd

m

粒子只是在Ⅰ区内运动而没有到达Ⅱ区，粒子的速度应满足：v≤

qBd

m

又根据T=

2πR

v

及t=

T

2

得：t=

πm

qB

（2）粒子经过Ⅱ区而且刚好能从x轴离开磁场的轨迹如图
依题意，有 qvB=

mv2

R1

及 qv

2

3

B=

mv2

R2

由几何关系得：

R2-d

d

=

R2

R1

整理得：v=

5qBd

3m

设此时粒子离开磁场的坐标为L，则L=2R1+2

(R2-R1)2-(R2-2d)2

联立以上3个公式，整理得：L=

14

3

d
故粒子速度应满足：

qBd

m

＜v≤

5qBd

3m

粒子到达x轴的坐标范围为：2d＜x≤

14

3

d
答：（1）粒子的速度v满足：v≤

qBd

m

粒子运动的时间：t=

πm

qB

；（2）该情况下粒子的速度v又满足：

qBd

m

＜v≤

5qBd

3m

；粒子到达x轴的坐标范围为：2d＜x≤

14

3

d

点评：该题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，（1）只有一个磁场，较简单，（2）有两个强度不同的磁场，要仔细地做出运动的图线，并结合两个临界条件才能正确解题．该题难度较大，属于难题．