Question

7．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力作用下，分别围绕其连线上某一点做周期相同的匀速圆周运动．某双星质量分别为m₁、m₂，做圆周运动的轨道半径分别为R₁、R₂，周期为T，则下列正确的是（　　）

• A． 两星质量一定相等
• B． 两星质量之和为m₁+m₂=$\frac{4{π}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 两星质量之比为$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$
• D． 有一颗星质量必为$\frac{4{π}^{2}{R}_{1}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等．但两者做匀速圆周运动的半径不相等．

解答 解：A、双星的周期相等，则角速度相等，两星质量分别为m₁和m₂，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为R₁和R₂．
由万有引力定律提供向心力：
对m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{R}_{1}$
对于m₁而言，所受万有引力大小恒定，其圆周运动向心力与万有引力相等，根据表达式知，其质量与转动半径成反比．
得：${m}_{2}=\frac{4{π}^{2}{L}^{2}{R}_{1}}{G{T}^{2}}$     ①
对m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{R}_{2}$
${m}_{1}=\frac{4{π}^{2}{L}^{2}{R}_{2}}{G{T}^{2}}$   ②
比较①②可知，两星质量不一定相等．故A错误；
B、由几何关系知：R₁+R₂=L    ③
三式联立解得：m_总=m₁+m₂=$\frac{4{π}^{2}{L}^{2}}{G{T}^{2}}（{R}_{1}+{R}_{2}）=\frac{4{π}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$故B正确；
C、联立①②可得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$．故C错误；
D、联立①③可得：${m}_{2}=\frac{4{π}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}{R}_{1}}{G{T}^{2}}$．故D正确．
故选：BD

点评 处理双星问题必须注意两点：
（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；
（2）轨道半径不等于引力距离．弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误．