Question

如图所示，物体A的质量m=1kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为M=0.5kg、长L=1m．某时刻A以向右的初速度v₀滑上木板B的上表面，忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数?=0.2，取重力加速度g=10m/s²．试求：

（1）现使B固定在地面上，令A在B上运动的末速度为v，试确定函数v（v₀）的解析式，并大致画出v-v₀图线．
（2）若v₀=4m/s，且B可在地面自由滑动，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的恒定拉力F．
①假设F=5N，求物体A从开始运动到距离小车左端最远处所需时间；
②若要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足什么条件？

Answer 1

分析：首先分析物体A和车的运动情况：A相对于地做匀减速运动，车相对于地做匀加速运动．开始阶段，A的速度大于车的速度，则A相对于车向右滑行，当两者速度相等后，A相对于车静止，则当两者速度相等时，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离．由牛顿第二定律和运动学公式结合，以及速度相等的条件，分别求出A与车相对于地的位移，两者之差等于A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离．
    要使A不从B上滑落，是指既不能从B的右端滑落，也不能左端滑落．物体A不从右端滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式结合，以及速度相等的条件，可求出此时F，为F的最小值．物体A不从左端滑落的临界条件是A到达B的左端时，A、B具有共同的速度，可求出此时F的最大值，综合得到F的范围．

解答：解：（1）由运动学公式L=

v02-v2

2μg

，
得v=

v02-2μgL

因此有v=

0 v02-4

(v0≤2m/s) (v0≥2m/s)

大致如图（2m/s以外部分为双曲线的一部分）．
（2）①对A有μmg=ma_A…①得a_A=?g=2 m/s²              
木板B作加速运动，有F+?mg=Ma_B，…②得：a_B=14 m/s²     
两者速度相同时，有v₀-a_At=a_Bt，得：t=0.25s                        
②物体A不从B 右端滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v₁，
则：

v02- v 2 1

2aA

=

v 2 1

2aB

+L
又：

v0-v1

aA

=

v1

aB

联立以上两式，可得：a_B=6m/s²              
再代入②式得：F=Ma_B-μmg=1N
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落．即有：F=（M+m）a，μmg=ma所以F=3N
综上：力F应满足的条件是：1N≤F≤3N．
答：（1）如图所示；
（2）①物体A从开始运动到距离小车左端最远处所需时间为0.25s；
②若要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足什么条件为1N≤F≤3N．

点评：牛顿定律和运动公式结合是解决力学问题的基本方法，这类问题的基础是分析物体的受力情况和运动情况，难点在于分析临界状态，挖掘隐含的临界条件．